広義積分３　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（令和３年１０月２０日付け）

　次の積分の値を答えよ。ただし、a、bは、−a＜b＜a、b≠0 なる実数とする。

∫₀^2πｄθ/(ａ＋ｂｃｏｓθ）






































（答）　ｚ＝ｅ^（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ　とおくと、１/ｚ＝ｅ^（−ｉθ）＝ｃｏｓθ−ｉ・ｓｉｎθ　なので、

　　ｃｏｓθ＝（ｚ＋１/ｚ）/２　、　ｓｉｎθ＝（ｚ−１/ｚ）/２ｉ　である。

　このとき、　１/（ａ＋ｂｃｏｓθ）＝２ｚ/（ｂｚ²＋２ａｚ＋ｂ）

　また、　ｄｚ＝ｉｅ^（ｉθ）ｄθ　より、　ｄθ＝−（ｉ/ｚ）ｄｚ

　よって、　∫₀^2πｄθ/(ａ＋ｂｃｏｓθ）＝−２ｉ∫_｜ｚ｜=1 ｄｚ/(ｂｚ²＋２ａｚ＋ｂ）

　２次方程式　ｂｚ²＋２ａｚ＋ｂ＝０　において、

　　判別式をＤとおくと、　Ｄ/４＝ａ²−ｂ²　において、−a＜b＜a　より、　Ｄ＞０

　よって、方程式は異なる２つの実数解α、βを持つ。

　すなわち、　ｂｚ²＋２ａｚ＋ｂ＝ｂ（ｚ−α）（ｚ−β）　（α＜β）　と因数分解される。

　ここで、　ｚ＝１のとき、　ｂｚ²＋２ａｚ＋ｂ＝２ａ＋２ｂ＞０

　　　　　　ｚ＝−１のとき、　ｂｚ²＋２ａｚ＋ｂ＝−２ａ＋２ｂ＜０

なので、単位円｜ｚ｜＝１の内部に含まれるのは、βのみで、ｚ＝βが孤立特異点である。

　Ｆ(Z)＝１/(ｂｚ²＋２ａｚ＋ｂ）　のｚ＝β　における留数　Ｒ（β）は、　１/（ｂ（β−α）　なので、

　留数定理により、　

　∫₀^2πｄθ/(ａ＋ｂｃｏｓθ）＝−２ｉ・２πｉ（１/（ｂ（β−α）））

　　　　　　　　　　　　　　　　＝（４π/ｂ）/（２√（ａ²−ｂ²））＝２π/（ｂ√（ａ²−ｂ²））　　（終）