当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２５年２月２２日付け）
次の事柄は成り立つか。もし、成り立たない場合は反例を挙げよ。
nを正の整数とするとき、 ∫0∞ｓｉｎｎｘ/ｘｎ ｄｘ=π/2
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２５年２月２２日付け）
ｎ=3 のとき、
∫0∞ｓｉｎ3ｘ/ｘ3 ｄｘ=∫01ｓｉｎ3ｘ/ｘ3 ｄｘ+∫1∞ｓｉｎ3ｘ/ｘ3 ｄｘ
＜∫01ｄｘ+∫011/ｘ3 ｄｘ=3/2＜π/2
という反例があるので、命題は成り立たない。
よおすけさんからのコメントです。（平成２５年２月２２日付け）
ご解答ありがとうございます。計算をして確かめたわけではないのですが、手元にある父
の高専の教科書にある問題では、
∫0∞ｓｉｎｘ/ｘ ｄｘ 、 ∫0∞ｓｉｎ2ｘ/ｘ2 ｄｘ
はいずれも計算結果がπ/2とあったので、他の正の整数nでも計算結果がπ/2かな・・・と
思っていましたが、必ずしもそうではないのですね。
空舟さんからのコメントです。（平成２５年３月５日付け）
例43を参考に、積分 ∫0∞ｓｉｎｎｘ/ｘｎ ｄｘ に適用してみました。
f(z) = ｓｉｎｎｚ/ｚｎ = (eiz-e-iz)n/(2iz)n に対して、２項展開した"前半"をg(z)とすることで
g(z)+g(-z)=f(z) となるようなg(z)を得られる。g(z)は...。
n=1なら : (eiz) / (2iz)
n=2なら : (e2iz-1) / (2iz)2
n=3なら : (e3iz-3eiz) / (2iz)3
n=4なら : (e4iz-4e2iz+3) / (2iz)4
n=5なら : (e5iz-5e3iz+10eiz) / (2iz)5
このg(z)のz=0における留数は次のようになる。
n=1 : -i/2
n=2 : -i/2
n=3 : -3i/8
n=4 : -i/3
n=5 : -115i/384
これのπi倍が確かにＳ（Ｈ）さんの結果（平成２５年２月２３日付け）と一致しました。
{{1, \[Pi]/2}, {2, \[Pi]/2}, {3, (3 \[Pi])/8}, {4, \[Pi]/3},{5, (115 \[Pi])/384}, {6, (11 \[Pi])/40},
{7, (5887 \[Pi])/23040}, {8, (151 \[Pi])/630}, {9, (259723 \[Pi])/1146880},
{10, (15619 \[Pi])/72576}...
Ａ：-R→-r(実軸に沿って) 、Ｂ：-r→r(半円右回り) 、
Ｃ：r→R(実軸に沿って) 、Ｄ：R→-R(半円左回り)
g(z)を上記のように周回積分することを考えると、 Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝0
Ａ＋Ｃが、積分 ∫ｒＲｓｉｎｎｘ/ｘｎ ｄｘ
ｒ → 0 のとき、Ｂ×(-2)＝g(z) の z=0 での留数×(2πi) 、R→∞ のとき、Ｄ → 0
みたいな感じらしいです。
フーリエ余弦変換と反転公式を使ってる人もいました。