広義積分                                 戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                      (平成25年2月22日付け)

 次の事柄は成り立つか。もし、成り立たない場合は反例を挙げよ。

  nを正の整数とするとき、 ∫0sinx/x dx=π/2





































(答) らすかるさんが考察されました。(平成25年2月22日付け)

   n=3 のとき、

     ∫0sin3x/x3 dx=∫01sin3x/x3 dx+∫1sin3x/x3 dx

                <∫01dx+∫011/x3 dx=3/2<π/2

  という反例があるので、命題は成り立たない。


 よおすけさんからのコメントです。(平成25年2月22日付け)

 ご解答ありがとうございます。計算をして確かめたわけではないのですが、手元にある父
の高専の教科書にある問題では、

  ∫0sinx/x dx 、 ∫0sin2x/x2 dx

はいずれも計算結果がπ/2とあったので、他の正の整数nでも計算結果がπ/2かな・・・と
思っていましたが、必ずしもそうではないのですね。


 空舟さんからのコメントです。(平成25年3月5日付け)

 例43を参考に、積分 ∫0sinx/x dx に適用してみました。

 f(z) = sinz/z = (eiz-e-iz)n/(2iz)n に対して、2項展開した"前半"をg(z)とすることで

g(z)+g(-z)=f(z) となるようなg(z)を得られる。g(z)は...。

 n=1なら : (eiz) / (2iz)
 n=2なら : (e2iz-1) / (2iz)2
 n=3なら : (e3iz-3eiz) / (2iz)3
 n=4なら : (e4iz-4e2iz+3) / (2iz)4
 n=5なら : (e5iz-5e3iz+10eiz) / (2iz)5

 このg(z)のz=0における留数は次のようになる。

 n=1 : -i/2
 n=2 : -i/2
 n=3 : -3i/8
 n=4 : -i/3
 n=5 : -115i/384

 これのπi倍が確かにS(H)さんの結果(平成25年2月23日付け)と一致しました。

{{1, \[Pi]/2}, {2, \[Pi]/2}, {3, (3 \[Pi])/8}, {4, \[Pi]/3},{5, (115 \[Pi])/384}, {6, (11 \[Pi])/40},
{7, (5887 \[Pi])/23040}, {8, (151 \[Pi])/630}, {9, (259723 \[Pi])/1146880},
{10, (15619 \[Pi])/72576}...


 A:-R→-r(実軸に沿って) 、B:-r→r(半円右回り) 、

 C:r→R(実軸に沿って) 、D:R→-R(半円左回り)

 g(z)を上記のように周回積分することを考えると、 A+B+C+D=0

 A+Cが、積分 ∫sinx/x dx

 r → 0 のとき、B×(-2)=g(z) の z=0 での留数×(2πi) 、R→∞ のとき、D → 0

みたいな感じらしいです。

 フーリエ余弦変換と反転公式を使ってる人もいました。