定積分の計算２　　 　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２５年１月２１日付け）

　次の定積分の値を求めなさい。

　　　　　　（出典：1979年 学習院大学 ）




































（答）　らすかるさんが考察されました。（平成２５年１月２１日付け）

　　与式＝∫_-1¹ x²/(1+e^-x) dx＝∫_-1¹ x²e^x/(1+e^x) dx

　なので、

　∫_-1¹ x²/(1+e^x) dx

　=(1/2){∫_-1¹ x²/(1+e^x) dx ＋∫_-1¹ x²e^x/(1+e^x) dx}

　=(1/2)∫_-1¹ x²(1+e^x)/(1+e^x) dx

　=(1/2)∫_-1¹ x² dx

　=∫₀¹ x² dx

　=1/3


　よおすけさんからのコメントです。（平成２５年１月２２日付け）

　らすかるさん、解答ありがとうございます。更に突っ込めば、∫_-1¹ xⁿ/(1+e^x) dx の値は、
ｎが 0 および正の偶数のとき、∫_-1¹ xⁿ dx　の半分の値と同じになります。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２５年１月２２日付け）

　より一般には、偶関数 f(x) と定数 a、b に対して、∫_-a^a f(x)/(1+b^x) dx = ∫₀^a f(x) dx とい
うことになりますね。