当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんからの出題です。
（平成２５年１月１４日付け）
∫[0〜π/2]{cosｘ/(ａ・cosｘ＋ｂ・sinｘ)}ｄｘ を求めよ。（ａ、ｂは正の実数）
（答） Ｓ（Ｈ）さんが考察されました。（平成２５年１月１４日付け）
原始函数の一つが、 F(ｘ)=(ｂ・log(ａ・cosｘ＋ｂ・sinｘ)＋ａｘ)/(ａ2＋ｂ2) と見出されるので、
答は、F(π/２)−F(０) 。
ＧＡＩ さんが考察されました。（平成２５年１月１４日付け）
{aπ-2b・log(a)+2b・log(b)}/{2(a2+b2)}={aπ+2b・log(b/a)}/{2(a2+b2)}
もし、「∫[0〜π/2]{sinｘ/(ａ・cosｘ＋ｂ・sinｘ)}ｄｘ を求めよ。（ａ、ｂは正の実数）」なら、
{bπ+2a・log(a)-2a・log(b)}/{2(a2+b2)}={bπ+2a・log(a/b)}/{2(a2+b2)}
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年１月１４日付け）
正解ですが、どのように求めましたか？
ＧＡＩ さんからの続報です。（平成２５年１月１４日付け）
t=tan(x/2)と置くと、 sinｘ=2t/(t2+1) 、cosｘ=(1-t2)/(t2+1)
ここで、 dt=1/2*sec2(ｘ/2)ｄｘ から、 ｄｘ=2dt/(1+t2)
求める積分の不定積分をFとおくと、 F＝∫(2t2-2)/{(t2+1)(at2-2bt-a)}dt
ここで、 (2t2-2)/{(t2+1)(at2-2bt-a)} を部分分数へ分解すると仮定して
恒等式 (2t2-2)/{(t2+1)(at2-2bt-a)}=(At+B)/(t2+1)+(Ct+D)/(at2-2bt-a) から、
A=-2bt/(a2+b2) 、B=2a/(a2+b2) 、C=2ab/(a2+b2) D=-2b2/(a2+b2)
ここで、I=1/(a2+b2)*∫(2a-2bt)/(t2+1)dt 、J=1/(a2+b2)*∫(2abt-2b2)/(at2-2bt-a)dt
と置くと、 I=2a/(a2+b2)*∫1/(t2+1)*dt-b/(a2+b2)*∫2t/(t2+1)*dt
=2a/(a2+b2)*tan-1t-b/(a2+b2)*∫1/s*ds (s=t2+1と置換)
=2a/(a2+b2)*tan-1t-b/(a2+b2)*log(s)
J=∫2b(at-b)/p*{dp/(2(a2+b2)(at-b))}=b/(a2+b2)*∫1/p*dp (p=at2-2bt-a と置換)
=b/(a2+b2)*log(p)
F=I+J=2a/(a2+b2)*tan-1t-b/(a2+b2)*log(s)+b/(a2+b2)*log(p)
s=t2+1 、p=at2-2bt-a 、t=tan(x/2) ですべてｘの変数へ置き直していくと
（長くなるので少し省略します。）
F(ｘ)=(ｂ・log(ａ・cosｘ＋ｂ・sinｘ)＋ａｘ)/(ａ2＋ｂ2)
これから、 F(π/2)-F(0)=[blog(b)+aπ/2]/(a2+b2)-[blog(a)]/(a2+b2)
={aπ+blog(b/a)}/{2(a2+b2)}
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年１月１４日付け）
やはり、まともに解くと大変そうですね。私の解答は、
I=∫[0〜π/2]cosx/(acosx+bsinx)dx 、J=∫[0〜π/2]sinx/(acosx+bsinx)dx
とおけば、
aI+bJ=∫[0〜π/2](acosx+bsinx)/(acosx+bsinx)dx=π/2
bI-aJ=∫[0〜π/2](bcosx-asinx)/(acosx+bsinx)dx
=[log|acosx+bsinx|][0〜π/2]=log(b/a)
よって、 I={a(aI+bJ)+b(bI-aJ)}/(a2+b2)={(π/2)a+blog(b/a)}/(a2+b2)
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年１月１４日付け）
ワォ！！！あの長たらしい道のりは何だったのだろう。漫才や夫婦や阿吽などやはりコン
ビが大切なんだな〜。早速メモに収めておこう。
（コメント） らすかるさんの解答を見て、昔そんな風に解いたことを思い出しました！
多分、Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２５年１月１５日付け）
らすかるさんの問題提起を模倣し、「Cosh[x]/(a・Cosh[x] + ｂ・Sinh[x])」の定積分を求めよ。
（下端、上端はお任せします）
(イ) 誰もが為す原始函数を求めて、「ただの引き算」の手法で解くと、大変そう．．．。
(ロ） Cosが在れば、Sin もと対にし、「見事に華麗に4行で解かれるた解答」に倣い．．．。
双方の発想で、積分も色々。
「∫[0〜π/2]{cosx/(acos(69*x)+bsin((1/6)*x))}dx を求めよ。」は問わないのと云う方在り。
世界の世間の常識は如何と、「Wolfram|Alpha」に依存する前に考え問うたところ、計算の如
く何とか正直に答えられ、想定の範囲内と云う方在り。受験場で、この手で正解を瞬時に為
し、残り時間の超大半を寝て、合格者が続々現われる時代到来。