積分可能？　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年５月２２日付け）

　次の定積分の値を求めなさい。

１．
２．

（答）　空舟さんからのコメントです。（平成２４年５月２２日付け）

　　１．は、被積分関数が積分区間で実数値をとりません。このような積分は定義されない
　と思います。

　　２．は、被積分関数が積分区間で連続有界なので当然積分可能で、積分区間において
　奇関数的なので、積分値は０になりますね。

（コメント）　２．について検証してみました。

　　


　よおすけさんからのコメントです。（平成２４年５月２２日付け）

　空舟さん、ありがとうございます。この問題は、以下のようにもできます。

　積分できる条件は、√の中が0以上ですから、

　　1．では、　ｘ²+2ｘ-3≧0　　このとき、　(ｘ-1)(ｘ+3)≧0　より、　ｘ≦-3、ｘ≧1

　　このことから、積分範囲から外れているので、計算できません。すなわち発散。

　　2．では、　3-2ｘ-ｘ²≧0　　このとき、　ｘ²-2ｘ-3≦0　より、(ｘ-1)(ｘ+3)≦0　から、-3≦ｘ≦1

　　このことから、積分範囲内なので計算可能。

　　　ここで、3-2ｘ-ｘ²＝t　とおくと、-2(1+ｘ)dｘ=dｔ　より、　(1+ｘ)dｘ=(-1/2)dｔ

　　　　　　　積分範囲は、ｘ：-3→1　より、t：0→0

　　　よって、与式＝∫[0,0](-1/2)√tdt＝0