整数解の組　　　 　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２６年５月１日付け）

　ｘ、ｙ、ｚ は自然数とする。このとき、x²+y²+z²=3ｘｙｚ （ただし、x≦y≦z ）を満たす(x，y，z)を
３０組以上見つけて下さい。






































（答）　Ｓ（Ｈ）さんが考察されました。（平成２６年５月１日付け）

{{1, 1, 1}, {1, 1, 2}, {1, 2, 5}, {1, 5, 13}, {1, 13, 34}, {1, 34, 89},{1, 89, 233}, {1, 233, 610}, {1, 610, 1597},
{1, 1597, 4181}, {1, 4181, 10946},{1, 10946, 28657}, {2, 5, 29}, {2, 29, 169}, {2, 169, 985}, {2, 985, 5741},
{2, 5741, 33461}, {5, 13,  194}, {5, 29, 433}, {5, 194, 2897}, {5, 433, 6466},{5, 2897, 43261},
{13, 34, 1325}, {13, 194, 7561}, {29, 169, 14701}, {29, 433, 37666}, {34, 89, 9077}}

と、とりあえず、30個未満。30個以上でなきゃ、ダメなんですか?


　DD++さんが考察されました。（平成２６年５月１日付け）

　ある(x，y，z)について、x²+y²+z²=3ｘｙｚ が成り立っているとする。このとき、

　 (3ｙｚ-ｘ)²+ｙ²+ｚ² = 9ｙ²ｚ²-6ｘｙｚ+ｘ²+3ｘｙｚ-ｘ² = 3(3ｙｚ-ｘ)ｙｚ

より、(3ｙｚ-ｘ，ｙ，ｚ)についても、この等式が成り立つ。

　よって、「ある数を、他の2数の積の3倍からそれを引いた数に置き換える」変換で無数に解
が得られる。

　(1，1，1)は明らかに条件を満たすので、これに変換を繰り返し適用すればよい。

　(1，1，1)、(1，1，2)、(1，2，5)、(2，5，29)、(1，5，13)、(5，29，433)、(2，29，169)、(5，13，194)、
(1，13，34)、・・・
（以下手計算が面倒なので省略）

　気になる点としては、「この方法で生成できる解以外に解はない」が真なのかどうかという
ことですね。x²+y²+z²=3ｘｙｚ かつ x≦y≦z≦3xy/2 を満たす解が (1，1，1) しかないことを
証明できれば、あとは無限降下法で証明できそうですが．．．。


　ＹＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月１日付け）

　無限降下法での証明とは、こういうことでしょうか。

　x²+y²+z²=3ｘｙｚ かつ x≦y≦z≦3xy/2 を満たす解が (1，1，1) しかない。・・・(*)

　x²+y²+z²=3ｘｙｚ を満たし、＜例の方法＞で求めることができない解が存在すると仮定する。
当然、 (1，1，1) ではないので、(*)から、一般性を失うことなく、ｘ＞3yz/2であるとできる。
すると、3yz-x は、x より小さくなり、新しい解(3yz-x，y，z)は元の解より小さい。新しい解が
(1，1，1)だとすると、元の解は、(1，1，1)から導けることになる。（矛盾）

　新しい解が(1，1，1)でなければ、(*)が成り立ち、さらに新しく小さい解を構成できる。よって、
無限に小さくなる整数解の列ができる。（自然数とは限らない）

　数は一つずつ変化するので、どこかの段階で、x、y、z のどれか一つが負になる状況が生じ
る。しかし、x、ｙ、z のどれか一つが負だとすると、x²+y²+z²は正だが、3xyz は負であるため、
解ではありえない。（矛盾）


　DD++さんからのコメントです。（平成２６年５月１日付け）

　数字3つの組なので、「小さい」をきちんと定義しなければなりませんが、あとはその通りで
す。ところが、そのスタート地点の証明方法が簡単そうで意外と難しい．．．。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２６年５月２日付け）

　x²+y²+z²=3ｘｙｚ かつ z≦3xy/2 とすると、 x²+y²≧z²

　x≦y から、y²≧z²/2 なので、 y≧z　より、3xyz≧(3/)xz²

　よって、　x²+y²+z²≧(3/)xz² … (1)

　ここでもし、x≧2 とすると、 x²+y²+z²≦3z²＜(3)z²≦(3/)xz²　となり、(1)が成り立
たないから、条件を満たすためには、x=1 でなければならない。

　x=1 のとき、 y≦z かつ x²+y²≧z² が成り立つためには、 y=z

　このとき、 x²+y²+z²=3ｘｙｚ は、 1+2z²=3z² となるので、 z=1

　よって、 x²+y²+z²=3ｘｙｚ かつ x≦y≦z≦3xy/2 を満たす解は、 (1，1，1) のみ。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月２日付け）

　(3ｙｚ-ｘ)²+ｙ²+ｚ² = 9ｙ²ｚ²-6ｘｙｚ+ｘ²+3ｘｙｚ-ｘ² = 3(3ｙｚ-ｘ)ｙｚ　より、(3ｙｚ-ｘ，ｙ，ｚ)についても、
この等式が成り立つ。

という式変形によく気づかれましたね。感心します。

　リチャード・Ｋ・ガイ著　数論＜未解決問題＞の事典　（朝倉書店）のp253に、

　超がつく難問は、すべてのマルコフ数（このディオファンタス方程式の解に現れる数）zが
ただ一つの解(x,y,z)を定義するか、である。この意味でマルコフ数は一意的であることを証
明したという論文が折々現れるが、これまでのところすべて誤りであった。

の記事を読む。私には、なにがどう誤りが起こるのかわかりません。ご検討のほどお願いし
ます。

　なお、これらの数（マルコフ数{1,2,5,13,29,34,89,169,194,233,433,610,985,････}）が、

　a=[1,1;1,0] (２次の正方行列）　、b=[2,1;1,0]

とおいて置くと、　a²=A=[2,1;1,1]　、b²=B=[5,2;2,1]　となり、マルコフ数の2,5が第1行第一列に
出現する。以下

　13→bAb　、29→bBb　、34→bAAb　、89→bAAAb　、169→bBBb　、194→bABAb
233→bAAAAb　、433→bBABb　、610→bAAAAAb　、985→bBBBb　、･･････････

とすべてのマルコフ数が元の行列 a、b で生成されていく様が興味を引きました。


　攻略法さんが考察されました。（平成２６年５月２日付け）

　フィボナッチ数列　F₁=F₂=1、F_n+2=F_n+1+F_n　（nは自然数）：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…

において、フィボナッチ数列の奇数番目の対 ( 1，F_2n-1，F_2n+1 )を考える。すなわち、

　( 1，F_2n-1，F_2n+1 ) = (1，1，2)　、( 1，F_2n+1，F_2n+3 ) = (1，2，5)　、
　　　　　　　　　　　　( 1，F_2n+3，F_2n+5 ) = (1，5，13)　、( 1，F_2n+5，F_2n+7 ) = (1，13，34)　、・・・

（考察）　補題1　F_2n+3=3F_2n+1-F_2n-1　が成り立つ。

補題2　F_2n-1²+F_2n+1²=3F_2n-1F_2n+1-1　が成り立つ。

　補題1より、

　　( 1，F_2n-1，F_2n+1 )　→　( 1，F_2n+1，F_2n+3 ) = ( 1，F_2n+1，3F_2n+1-F_2n-1 )

すなわち、　(x，y，z) → (x，z，3xz-y)　を満たす。

補題2より、　x²+y²+z²=3ｘｙｚ を満たす。　　（終）


　DD++さんからのコメントです。（平成２６年５月２日付け）

　なるほど、マルコフ数というのですか。Wikipediaを見てみましたが、私の思いつきがかなり
本質をついていたことにびっくり。

　あの変形に気づいたのはそんなに難しい発想ではなくて、ｙとｚを固定して、ｘ の二次方程
式と見ると、整数係数かつ最高次係数が1なので、片方が整数解なら、もう片方も整数解で
その和は解と係数の関係より、3ｙｚ。だから、3ｙｚ-ｘ という形が出てきたのです。

　誤りについては各々の論文を見てみないとなんとも言えませんが、どの数を変換するかの
パターンが複雑に絡み合った場合、その扱いはかなり慎重にしないといけない印象です。

　ところで、これもただの思いつきなのですが、「マルコフ数に4N+3型素因数は存在しない」
は証明できるので、フェルマーの二平方定理より、全てのマルコフ数は平方数の和で表すこ
とができます。

　奇数番目のフィボナッチ数は、隣接フィボナッチ数の平方和、奇数番目のペル数は、隣接
ペル数の平方和なのは明らかとして、さて、残りのマルコフ数も平方和に書いたとき、何か
法則はあるでしょうか？


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年５月２日付け）

　マルコス数をマルコス数での平方和で表してみました。

　5=2^2+1^2=3*2*1-1　、13=(5^2+1^2)/2=3*5*1-2　、29=5^2+2^2=3*5*2-1
34=(13^2+1^2)/5=3*13*1-5　、89=(34^2+1^2)/13=3*34*1-13　、169=(29^2+2^2)/5=3*29*2-5
194=13^2+5^2=3*13*5-1　、233=(89^2+1^2)/34=3*89*1-34　、433=(29^2+5^2)/2=3*29*5-2
610=(233^2+1^2)/89=3*233*1-89　、985=(169^2+2^2)/29=3*169*2-29
1325=(34^2+1^2)/13=3*34*1-13　、1597=(610^2+1^2)/233=3*610*1-233
2897=(194^2+5^2)/13=3*194*5-13　、4181=(1597^2+1^2)/610=3*1597*1-610
5741=(985^2+2^2)/169=3*985*2-169　、6466=(433^2+5^2)/29=3*433*5-29
7561=(194^2+13^2)/5=3*194*13-5　、9077=89^2+34^2=3*89*34-1　、･････