整数問題２　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年１１月１６日付け）

問題１　　10!=7!・6!=7!・5!・3!(=3628800)　という式に出会いました。

　　　　　これを、一般化して、

　　　　　　　　ｎ!=ａ₁!・ａ₂!・ａ₃!・…・ａ_r!　(ｒ≧2　、ａ₁≧ａ₂≧ａ₃≧…≧ａ_r≧2)

　　　　となるものが他に存在するだろうか？


問題２　　ディオファンタス方程式　ｘ^ｘ・ｙ^ｙ＝ｚ^ｚ　の自明解　ｘ＝1、ｙ＝ｚ または　ｙ＝1、ｘ＝ｚ
　　　　　以外のすべての解を求めよ。（from エルデーシュ）





























（答）　 らすかるさんが考察されました。（平成２４年１１月１６日付け）

　　　（問題１）　24!=23!・4!　、120!=119!・5!　、720!=719!・6!　、・・・

　　　（問題２）　すべてではないですが、ｘ＝ｙ＝-1、ｚ＝1 も解ですね。


　Ｓ（Ｈ）さんが（問題２）を模倣して作問されました。（平成２４年１１月１６日付け）

　　　　　ｘ^ｘ・ｙ^ｙ・ｚ^ｚ＝ｗ^ｗ　の自明解　ｘ＝1、ｙ＝1、ｚ＝ｗ　以外のすべての解を求めよ。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１１月１７日付け）

　　ｘ=3¹²・2⁶　、ｙ=3¹³・2⁵　、ｚ=3¹⁴・2⁴　、ｗ=3¹⁴・2⁵　など・・・

　ただし、確かめに困難を伴うと思われる。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年１１月１７日付け）

　　（参考）　→　計算結果


　攻略法さんからのコメントです。（平成２４年１１月１７日付け）

　（問題１）について、　n=m!　のとき、n!=n*(n-1)!=m!(n-1)!型（→　らすかるさんの解）

例　2!=2!*1!　、6!=3!*5!　、24!=4!*23!　、120!=5!*119!　、720!=6!*719!　、・・・

　一般的に、連続するk個の自然数の積とすると、

　　n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=m!　のとき、n!=m!(n-k)!型　（ただし、k=1は上記の場合）

例　10!=10*9*8*7!=720*7!=6!7!　←←←
　　　　　└3個┘

　よって、問題文の例の場合、上記の結果を組み合わせて、10!=6!*7!=(3!*5!)*7! となる。

UBASICのプログラムで確認しました。

list
  110   for N=2 to 1000 'n!
  120     S=1
  130     for K=1 to N-2 's=n(n-1)…(n-k+1)
  140       S=S*(N-K+1)/K '連続するk個の整数の積は、k!で割り切れる　※comb(n,k)
  160       W=S
  170       for M=K+1 to N-K-1 'm!≦(n-k-1)!で、s=m!かどうか確認する
  180         if W=M then cancel for:goto 220 '等しい
  190         if W-int(W/M)*M<>0 then cancel for:goto 220
  200         W=W/M
  210       next M
  220       if W=M then print N;"! =";M;"! *";N-K;"!" '結果を表示する
  230     next K
  240   next N
OK

run
　　6 ! = 3 ! * 5 !
　　10 ! = 6 ! * 7 !
　　24 ! = 4 ! * 23 !
　　120 ! = 5 ! * 119 !
　　720 ! = 6 ! * 719 !
OK


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１１月１７日付け）

　9!=7!*3!*3!*2!　などのタイプも探せますか？

　また、3!=1*2*3、4!=2*3*4、5!=4*5*6、6!=8*9*10　と３つの連続数で構成できるのは、これ
以外には存在するのでしょうか？


　攻略法さんからのコメントです。（平成２４年１１月１７日付け）

　不定方程式 (2!)^a(3!)^b(4!)^c…((n-1)!)^d=n!　（nは3以上の整数、a、b、c、…、dは非負整数）

別のプログラムで、nを3から25まで検索しました。

　4!=2!2!3!　、6!=3!5!　、8!=2!2!2!7!　、9!=2!3!3!7!　、10!=6!7!　、 10!=3!5!7!　、12!=2!3!11!
16!=2!5!14!　、16!=2!2!2!2!15!　、24!=4!23!　、24!=2!2!3!23!


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１１月１８日付け）

　これが求めていけるなら、

　2!=2!　、3!=3!　、4!=(2!)²・3!　、5!=5!　、6!=3!・5!　、7!=7!　、8!=(2!)³・7!　、9!=2!・(3!)²・7!

10!=3!・5!・7!　、11!=11!　、12!=2!・3!・11!　、13!=13!　、14!=14!　、15!=15!　、16!=(2!)⁴・15!

・・・・・・　、24!=(2!)²・3!・23!
:
という風に、すべての階乗数ｎ!は、あたかも素数の積に一意に分解できるように、素階数
2!、3!、5!、7!、11!、13!、14!、15!、　・・・　で表されていけることになる。

　はて、この素階数は無数に存在し（せめて１００個は知りたい。）、リーマン予想に対応す
るような構造や、素数で成立していた諸々の性質に対応する法則が見つかるのだろうか？
また一つ疑問が湧いてしまった。何かしらの情報をお持ちの方は、どうかお知らせ下さい。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２４年１１月１８日付け）

　ｎ!=a₁!・a₂!・a₃!・…・a_r!　(r≧2、a₁≧a₂≧a₃≧…≧a_r≧2)

　このように分解出来るのであれば、 a₁≧(n以下の最大素数) ですから、100個ぐらいは手
計算で何とかなるでしょう。

　ｎが素数のとき、ｎ!は素階数なので飛ばしてよく、ｎが素数でないとき、

n=4→4が階乗数の積で表されなければならない→(2!)²・3!
n=6→6が階乗数の積で表されなければならない→3!・5!
n=8→8が階乗数の積で表されなければならない→(2!)³・7!
n=9→9または9・8が階乗数の積で表されなければならない→2!・(3!)²・7!
n=10→10または10・9または10・9・8が階乗数の積で表されなければならない
　　　　　→少なくとも5!か6!が必要→6!・7!=3!・5!・7!
n=12→12が階乗数の積で表されなければならない→2!・3!・11!
n=14→14が階乗数の積で表されなければならないが14＜7!なので不可能
n=15→15または15・14→15＜5!, 15*14＜7!なので不可能
n=16→16または16・15または16・15・14
　　　　　→16=(2!)⁴、16・15=2!・5!、16・15・14＜7!→(2!)⁴・15!、2!・5!・14!
　※ここで「一意に分解」できなくなっているのですが、これは無視でしょうか。

n=18→18→18＜9!、18＜(3!)²なので不可能
n=20→20→20＜5!で不可能
n=21→21または21・20→21＜7!、21・20＜7!なので不可能
n=22→22または22・21または22・21・20→いずれも11!より小さいので不可能
n=24→24→4!=(2!)²・3!
n=25→25または25・24→いずれも(5!)²より小さいので不可能
n=26→26、26・25、26・25・24はいずれも13!より小さいので不可能
n=27→27、27・26、27・26・25、27・26・25・24→27は3の奇倍数なので不可能、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　他は13!より小さいので不可能
n=28→28、28・27、28・27・26、28・27・26・25、28・27・26・25・24
　　　　　→28、28・27は7!より小さいので不可能、他は13!より小さいので不可能
n=30→30＜5!で不可能
n=32→(2!)⁵・31!
n=33→33、33・32は11!より小さいので不可能
n=34→34、34・33、34・33・32は17!より小さいので不可能
n=35→35＜7!、35・34、35・34・33、35・34・33・32は17!より小さいので不可能
n=36→36・35＜7!、36・35・34・33・32＜17!で不可能、(3!)²・35!のみ
n=38→38＜19!で不可能
n=40→40＜5!で不可能
n=42→42＜7!で不可能
n=44→44＜11!で不可能
n=45→45は3の奇倍数で不可能、45・44＜11!で不可能
n=46→46・45・44＜23!で不可能
n=48→(2!)³・3!・47!
n=49→49・48＜7!で不可能
n=50→50＜5!、50・49・48は7!で割り切れないので不可能

　飽きたのでここでやめますが、ここまでで「素階数」は、

　2!、3!、5!、7!、11!、13!〜15!、17!〜23!、25!〜31!、33!〜35!、37!〜47!、49!、50!

　なんか大半が「素階数」になってしまって面白味がないですね。


　攻略法さんからのコメントです。（平成２４年１１月１８日付け）

　GAIさんからの問いかけ「３つの連続数で構成できるのは、他に存在するのでしょうか？」
について考えてみました。

　連続する3個の整数を　n-1、n、n+1　とする。その積は、　(n-1)n(n+1)=n³-n
これが、m!と表されるとすると、　n³-n=m!

　よって、「3次方程式の整数解を求める」ことになる。

UBASICのプログラムで確認してみました。（少し発展したものになるが、センター試験向きのもの）

list
  110   N=2
  120   M=2
  130   S=N^3-N '(N-1)N(N+1)=N^3-N
  140   F=M 'M!
  150   while N<=10000000 '検証範囲
  160    if S<>F then 230 '一致する
  170       print M;"! =";N-1;"*";N;"*";N+1
  180       N=N+1 'Nを更新
  190       S=N^3-N
  200       M=M+1 'Nを更新
  210       F=F*M
  220    goto 290
  230    if S<F then 270 'S>Fなら
  240       M=M+1
  250       F=F*M
  260     goto 290
  270       N=N+1
  280       S=N^3-N
  290   wend
OK

run
　　3 ! = 1 * 2 * 3
　　4 ! = 2 * 3 * 4
　　5 ! = 4 * 5 * 6
　　6 ! = 8 * 9 * 10
OK


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１１月１８日付け）

　思い込んでいたので、一意性が崩れていることに気づかなかった。大半が「素階数」になっ
てしまったということで、想像だけが膨らんでしまいました。

　話題を変え、群論の本を読んでいたときに、「1²+2²+3²+・・・+24²=70²　は、１から連続する
平方和が再び平方数になれるのはこれに限る。」　リーチ格子と深く関係しており、２４次元
のユークリッド空間には興味ある性質が発生する。

　３次元ユークリッド幾何学をアインシュタインの理論に対する数学的背景としてミンコフスキ
ーが提唱していたミンコフスキー幾何学で、時空間の距離を、ｘ²+ｙ²+ｚ²-ｔ²（光速を１とした。）が
一定であるというローレンツ空間の光錐（「時空」の長さが０である道）を利用したという構造
と同様に、２６次元で、(0，1，2，3，・・・・・・，24，70)の座標があり、この点は原点を通る光錐
上にあるとみなす。実際、原点からこの点までの距離（時間を含む）は、

　　　0²+1²+2²+3²+・・・+24²-70²=0

を満たす。この光錐がリーチ格子を与えるという。
（中の詳しい理解は解らない部分も多いが、想像だけは膨らむ。）

　これの構造を調べ上げる副産物として、それまで未発見であった散在単純群（モンスター群
を含む）の発掘に繋がっていったという歴史があるという。

　そこで、連続する平方和が平方数を作る（ピタゴラスでおなじみの　3²+4²=5²　もその一つ）
パターンに興味がわいたので調べてみました。

　ａ²＋(ａ＋1)²＋(ａ＋2)²＋・・・・＋(ａ＋ｎ)²＝N²

　意外と同じ数からスタートするパターンが多く存在していることが面白かったです。
＜探査範囲：1≦a≦100,1≦n≦200,1≦N≦2000＞（もちろん探索範囲を無制限に広げると
均等化するのかもしれない。）これらはユークリッド的に距離が等価であることから、何か面
白い物語が生まれませんかね？


　攻略法さんからのコメントです。（平成２４年１１月２０日付け）

　(ａ＋1)²＋(ａ＋2)²＋・・・・＋(ａ＋ｋ)²＝N²

　「連続するk個の数の平方和が平方数になる」としたとき、このkがとる値は、小さい順に

　　2、11、23、24、26、33、47、49、50、59、73、74、88、96、97、…　（→　参考：「Ａ001032」）

　また、143²は、連続する平方数の和として2通りに表せる最小の平方数である。

　　7² + 8² + … + 39² = 38² + 39² + … + 48² = 143²　（→　参考：「Ａ097812」）


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１１月２０日付け）

　平方数について、私も図書館で可能な限り書籍を借り出し、またネットでも何か情報が拾
えないかといろいろ探す中で、次のような面白いものに出会いました。

　３つの元からなる S={1936,13689,57600} から任意の異なる２つの和をとると、すべて平方
数となる。（元の集合の元も平方数である。）

　５つの元からなる S={784,4096,67081,153664,462400} から任意の異なる４つの和をとると、
すべて平方数となる。（元の集合の元も平方数である。）

　８つの元からなる S={79²,112²,404²,632²,896²,916²,1828²,2092²} から任意の異なる７つの
和をとると、すべて平方数となる。

と本に記述されていたので確かめたところ、その通り成立しました。
（ＨＮ「りらひい」さんに一部修正して頂きました。（平成２４年１１月２１日付け））

　また、平方数からではないが、５つの元からなる集合

S={26072323311568661931,43744839742282591947,118132654413675138222,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　186378732807587076747,519650114814905002347}

から任意の３つの和（１０通り可能）はいずれも平方数となる。

　平方数には尽きせぬ不思議さが内在しているみたいです。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１１月２１日付け）

　攻略法さんから紹介されたオンライン整数列大辞典「Ａ097812」で、リンクで張られた
Table of n a(n) for n=1..5077　の構成可能な数値を見ていたら次の整数を作りたくなった。

　77，2222，171171，411411，550550，704704，778800，1515151

　forである程度範囲を絞りながら探っていくと、

　　77²=18²+19²+20²+・・・+28²　、2222²=192²+193²+194²+・・・+279²

は発見できました。しかし残りは探索範囲になかなかひっかからなく未だ見つけていません。
どなたか効率よいプログラムで探し出してくれませんか？


　攻略法さんからのコメントです。（平成２４年１１月２１日付け）

問題　連続するｋ個の整数の平方和が平方数になるもの：

　　　　n²+(n+1)²+(n+3)²+ … +(n+k-1)²=m²

（答）　左辺=n²+(n+1)²+(n+3)²+ … +(n+k-1)²
　　　　　　　=kn² +2n(1+2+3+ … +(k-1)) +1²+2²+3²+ … +(k-1)²
　　　　　　　=kn² +(k-1)kn +(k-1)k(2k-1)/6

　　　よって、　kn² +(k-1)kn +(k-1)k(2k-1)/6-m²=0　をｎの2次方程式とみて、

　　解の公式より、n=(-(k-1)k±√D)/(2k)

　　整数解は判別式D=2k{12m²-(k-1)k(k+1)}が平方数で、2kで割り切れるときである。（終）

list
  110   M=171171
  120   for K=2 to M-1
  130     D=2*K*(12*M^2-(K-1)*K*(K+1))//6 '判別式
  140     if D<0 then cancel for:goto 210
  150     W=isqrt(D)
  160     if W^2<>D then 200 '平方数なら
  170       N=(-(K-1)*K+W)//(2*K)
  180       if N<=0 or N<>int(N) then 200 '整数なら
  190         print M;": ";N;"^ 2 + … +";N+K-1;"^ 2";"　長さ=";K
  200   next K
  210   end
OK

run
　　171171 ：  1341² + … + 4486²　長さ= 3146
　　411411 ：  5706² + … + 8851²　長さ= 3146
　　550550 ：  6640² + … + 10632²　長さ= 3993
　　704704 ：  4669² + … + 11675²　長さ= 7007
　　778800 ：  30246² + … + 30894²　長さ= 649
　　1515151 ：  79454² + … + 79815²　長さ= 362
OK