整数問題                                  戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんからの出題です。
                                      (平成28年4月17日付け)

 999・・・95 (9が30個続く) の各桁の数字の和は?








































(答) らすかるさんが考察されました。(平成28年4月17日付け)

 書きやすいように、 999^5=(10^3-1)^5=10^15-5・10^12+10・10^9-10・10^6+5・10^3-1 で
考えると、

   10^15 1000000000000000
-5・10^12 995000000000000
   +10^10 995010000000000
   -10^7  995009990000000
 +5・10^3 995009990005000
      -1 995009990004999


 この結果から考えて、元の式の値は、

999…(29個)…9
5
000…(29個)…0
999…(30個)…9
000…(30個)…0
4
999…(30個)…9

となるので、答えは、9×90=810


(コメント) なるほど!らすかるさんの解法は斬新ですね。この論法でいくと、95の各位の数
      の和は、

999…(0個)…9
5
000…(0個)…0
999…(1個)…9
000…(1個)…0
4
999…(1個)…9

となるので、答えは、9×3=27 となるはずで、実際に、95=59049 より、各位の数の
和は、
     5+9+0+4+9=27


 Seiichi Manyamaさんからのコメントです。(平成28年4月19日付け)

 GAI さんがなぜ5乗を選んだかは、(Ruby)の実行結果を見ればわかる気がする。


 DD++さんからのコメントです。(平成28年4月20日付け)

 関連してちょっと気になっている問題(私も正解はわかりません)。

 2桁以上の累乗数を十進法で表したとき、登場する数字の平均が最も大きい数っていくつ
なのでしょう。あるいは、最小値同様最大も存在しない?

例: 17^2 = 289 の場合、数字の平均は (2+8+9)/3 = 19/3 = 6.333……
   6^5 = 7776 の場合、数字の平均は (7+7+7+6)/4 = 27/4 = 6.75
など。


 らすかるさんからのコメントです。(平成28年4月21日付け)

 10以上10^18以下の平方数について平均を計算し、最大を更新するたびに出力するように
したら、

4^2 = 16 → 7/2 = 3.5
6^2 = 36 → 9/2 = 4.5
7^2 = 49 → 13/2 = 6.5
63^2 = 3969 → 27/4 = 6.75
83^2 = 6889 → 31/4 = 7.75
313^2 = 97969 → 40/5 = 8
94863^2 = 8998988769 → 81/10 = 8.1
3162083^2 = 9998768898889 → 106/13 = 8.153846…
994927133^2 = 989879999979599689 → 148/18 = 8.222222…

のようになりました。これを見た感じでは、最大値は存在しない気がします。
(気がするだけです。)

 で、この中で最大の994927133をOEISで検索したら、「A164841」が出てきました。少なくと
も 244272388937^2までの平方数では 994927133^2が最大のようです。また、10以上10^18
以下の累乗数で、994927133^2以外はすべて 8.222222…未満でした。