当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２７年１１月３０日付け）
行列A=(1/2)×M{(1,-
),(,1)}=Ｒ（60°）、B=(1/√2)×M{(1,-1),(1,1)}=Ｒ（45°）で表される1次変換をそれぞれ f、g とする。変換 f を m 回、g を n 回適当な順位で繰り返すと、
点P(2，0)は、点Q(
，1)に移る。このような自然数の組(m，n)のうち、m+n が最小となるものを求めよ。
（1989年 一橋大学の改題）
（コメント） 点P(2，0)を、原点の周りに 30°＋360°ｋ （ｋは自然数）だけ回転させると、点
Q(
，1)に移る。変換 f を m 回、g を n 回行うとすると、
60°ｍ＋45°ｎ＝30°＋360°ｋ
たとえば、 60°×5＋45°×2＝390°＝30°＋360°なので、m+n＝7 が最小値
と思われる。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２８年６月２５日付け）
60°ｍ＋45°ｎ＝30°＋360°ｋ
を満たすものとして、 m = 23、n = 26 等 幾らでも存在する。
よおすけさんから問題をいただきました。（平成２８年６月２４日付け）
上記の問題に加えて、小問で以下の問題がありました。
変換 f、g をどのような順序でくり返しても、点Q(5，0)を点Q’(4，3)には移せないことを示せ。
（コメント） 変換 f を m 回、g を n 回行うことで移せるものと仮定すると、
ｔａｎ（60°ｍ＋45°ｎ）＝３/４
すなわち、（ｔａｎ（60°ｍ）＋ｔａｎ（45°ｎ））/（１−ｔａｎ（60°ｍ）ｔａｎ（45°ｎ））＝３/４・・・（*）
ここで、 ｔａｎ（60°ｍ）＝０、
、−、−１ｔａｎ（45°ｎ）＝０、１、−１
の何れの組合せを考えても（*）は成立しない。