当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ａｔ」さんからの出題です。
（平成２４年５月１９日付け）
高校数学の範囲で解ける問題です。気が向いたら解いてみてください。
[問題] 次の条件を満たすような100個の相異なる正整数の数列 a1、a2、…、a100 が存
在することを証明せよ。
(条件) 99以下のすべての正整数 ｎ に対して、an2 + an+12 は平方数である。
（答） 空舟さんからのコメントです。（平成２４年５月２０日付け）
初項が、３99で、公比が4/3の等比数列、というのが一番手っ取り早いと思います。
（コメント） 空舟さん、ありがとうございます。検証してみました。
an＝３99・(4/3)ｎ-1 、an+1＝３99・(4/3)ｎ より、
an2 + an+12＝３198・(16/9)ｎ-1・（１＋16/9）＝３198・(16/9)ｎ-1・（25/9）
は常に平方数である。（う〜む、なるほど！）
ａｔ さんからのコメントです。（平成２４年５月２１日付け）
これは明快な解答ですね。このような例があったとは気づきませんでした。一応、別解を
書いておきます。
次のような漸化式で、an を定義します。
a1＝10
ｎ＞１に対しては、 an-1 が奇数ならば、 an＝（an-12−１）/２
an-1 が偶数ならば、 an＝（an-12−４）/４
このように、an を定義すれば、an は単調増加で、任意の正整数 ｎ に対して、an2 + an+12
は平方数となります。