入出力＝０ 
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「Ｋ．Ｓ．」さんからの出題です。
（平成２５年１１月１８日付け）
「入出力＝０」という問題を考えます。１～ｎ までの数を使って、サイクリックな図形に埋め
ていく問題です。
簡単な例として、（各頂点の入出の数の和が０になる）
同じく、１～６ですが、単線の図（四面体）
１～８の場合と、１～１０の場合の一つとして
１～１２の場合、 例 ２通り
＜疑問＞
（１）複数の解が、ある場合、本質的に,幾通りあるか？
（２）矢印の向きが、異なる場合も可能か？
（３）他の正多面体の場合は、可能か？
（４）中の数は、４，１０，１４，１８は、必然か？
（５）一般的な解法はあるのか？
１～９の場合 １～１１の場合
＜分かったこと＞
必要条件になるかも知れませんが、各頂点の入る矢印が多く、出る矢印が少ない点を＋点、
逆を－点、等しいとき０点とすると、全体として、＋点の個数と－点の個数は一致する。
矢印の向きを全て逆にしても成り立つ。
（追記） 平成２５年１１月２９日付け
正六面体の場合（１～１２まで）
八個の頂点の値＝０（＋A、－A）のプラス部分（入）の総和は、１～１２までの総計７８に等
しい。１本矢印の入出に注目すると、隣どうしは同じ値でなければならないので、４本の数の
和が３９にならなければならない。
よって、４つの数の和が３９になる(8,9,10,12),(7,9,11,12),(6,10,11,12)のうち解をもつのは、一
つで（7,9,11,12）のときだけであり、12は一本の入力で、以下の二つの解があり、矢印を逆向
きに変えると、この矢印の図では、総計４通り（回転、反転を除く）の解が存在する。
上記の問題について、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「攻略法」さんが考察されまし
た。（平成２５年１２月６日付け）
＜状況証拠と仮説＞ 辺（枝）の数について、
・全体では、ｎ本
・1つの辺に対して、入出力あわせて3本以上である。─○ や ─○─、＝○ は存在しない。
頂点（節）の値（入力側または出力側の和）
・値の範囲
＝○─なら、最小：1+2=3、最大：ｎ
＝○＝なら、最小：1+4=2+3=5、最大：n+(n-3)=(n-1)+(n-2)=2n-3
≡○─なら、最小：1+2+3=6、最大：ｎ など・・・。
・全体の和は、Σk=1～n k=n(n+1)/2 （以下、Σと記す）である。
提示されたものより、
| |
n=6の場合、Σ=21 |
|
n=9の場合、Σ=45 |
|
⑥
／⑥＼
④───⑤ |
|
⑧─⑥
│⑨│
│⑨│
⑧─⑤ |
辺（枝）と頂点（節）の値：分割数となる。
図形を固定して考えて、数え上げてみる。
● k角錐のとき
ｎが柱にある場合、1≦a かつ 2a＜n=2k とする。
○
n↓ … │ … │
←○→ ○─ ○←
a n-a
a
ｎが底面にある場合、1≦a＜b＜n=2k とする。
○
n-a↓ b↑ … │ … │
→○→○→ ○─ ○→
a n n-b a |
|
○
n-a↓n-b↑ … │ … │
→○→ ○→ ○─ ○→
a n b a |
| |
|
|
○
a↓ b↑ … │ … │
→○→○→ ○─ ○→
n-a n n-b n-a |
|
○
a↓n-b↑ … │ … │
→○→ ○→ ○─ ○→
n-a n b
n-a |
のように、はしご状に展開する。
3角錐（正4面体）の場合 n=6のとき
⑥
6↓
2↑ 4↑
←⑥→⑤→④←
1 5 3 1
3角錐系の平面図形
⑥
／6↑
＼
1 ／ ⑥ ＼ 5
↓ 4／ ＼2
↓
④←────⑤
3 |
|
④
1／↑＼4
┌⑥ 3│ ⑥┐
│ 5＼│／2
│
│ ⑤ │
└─ ← ─┘
6 |
4角錐の場合 n=8のとき
⑩
8↓ 4↑ 2↓ 6↑
←⑧→⑦→⑤→⑥←
1 7 3 5 1 |
|
⑪
8↓ 5↑ 6↑
3↓
←⑧→⑦→⑥←④←
1 7 2 4 1 |
|
⑨
8↓ 1↓ 4↑
5↑
←⑧→⑦→⑦→⑤←
2 6 7 3 2 |
| |
|
|
|
|
⑫
8↓ 7↑ 4↓
5↑
←⑧→⑦←④→⑤←
2 6 1 3 2 |
|
⑪
8↓ 7↑ 4↑
3↓
←⑧→⑦←⑤←⑤←
2 6 1 5 2 |
|
⑨
8↓ 1↓ 2↑
7↑
←⑧→⑥→⑥→⑦←
3 5 6 4 3 |
| |
|
|
|
|
⑩
8↓ 2↓ 6↑
4↑
←⑧→⑦→⑦→④←
3 5 7 1 3 |
|
⑩
7↓ 6↑ 3↓
4↑
→⑧→⑧→⑤→⑤→
1 8 2 5 1 |
|
⑪
7↓ 6↑ 5↑
4↓
→⑧→⑧→⑤←④→
1 8 2 3 1 |
| |
|
|
|
|
⑥
2↓ 5↑ 4↓
1↑
→⑧→⑧→⑦→⑦→
6 8 3 7 6 |
|
⑨
2↓ 5↑ 4↑
7↓
→⑧→⑧→④←⑦→
6 8 3 1
6 |
|
|
● k角柱のとき 1≦a＜b＜n=3k とする。
ｎが柱にある場合
a n-a
a
→○← ○─ ○→
n↓ … │ … │
←○→ ○─ ○←
b n-b
b |
|
a n-a a
→○← ○─ ○→
n↓ … │ … │
←○→ ○─ ○←
n-b
b n-b |
ｎが上面（または底面）にある場合
a n b a
→○→
○→ ○─ ○→
n-a↑n-b↓ … │ … │
─○─ ○─ ○─ ○─ |
|
a
n n-b a
→○→ ○→ ○─ ○→
n-a↑ b↓ … │ … │
─○─
○─ ○─ ○─ |
| |
|
|
n-a n b n-a
→○→
○→ ○─ ○→
a↑n-b↓ … │ … │
─○─ ○─ ○─ ○─
|
|
n-a
n n-b n-a
→○→ ○→ ○─ ○→
a↑ b↓ … │ … │
─○─
○─ ○─ ○─ |
のように、はしご状に展開する。
3角柱の場合 n=9のとき
1 8
5 1 1 8 6 1 2 7 6 2
→⑨←⑧←⑥→ →⑨←⑧←⑦→ →⑨←⑦←⑧→
9↓ 3↑
6↑ 9↓ 2↑ 7↑ 9↓ 1↑ 8↑
←⑨→⑦→⑥← ←⑨→⑤→⑦← ←⑨→④→⑧←
2 7 4 2
4 5 3 4 5 4 3 5
8 9 6 8 2 9 6 2 3 9 4
3
→⑨→⑨→⑧→ →⑨→⑨→⑥→ →⑨→⑨→④→
1↑ 3↓ 2↑ 7↑ 3↓ 4↓ 6↑ 5↓
1↓
→⑤→⑦→⑦→ ←⑧←⑧←⑤← →⑧→⑦→⑧→
5 4 7 5 1 8 5 1 8 2 7
8
3角柱系の平面図形
④
／↓1＼
／ ⑦ ＼
3／ 6／＼7
＼4
／ ⑧─→⑨ ＼
↓8／ 2 ＼9
↑
⑧←──────⑨
5 |
|
6
⑧──→⑦
↑2＼／7↑
│ ⑨ │
8│
9↓ │1
│ ⑨ │
│5／＼4│
⑧←──④
3 |
4角柱の場合（正6面体）
1 11 5 8 1
→⑫←⑪←⑧←⑨→
12↓ 6↑ 3↓ 9↑
←⑫→⑩→⑦→⑨←
2 10 4 7
2 |
|
1 11 4 6 1
→⑫←⑪←⑩→⑥→
12↓ 7↑10↑ 5↓
←⑫→⑨→⑩←⑧←
3 9
2 8 3 |
|
2 10 11 5 2
→⑫←⑪←⑪←⑦→
12↓ 1↓ 6↑ 7↑
←⑫→⑨→⑨→⑦←
4 8 9 3 4 |
| |
|
|
|
|
2 10 1 7 2
→⑫←⑪→⑦→⑦→
12↓11↑ 6↑
5↓
←⑫→⑪←⑨←⑨←
4 8 3 9 4 |
|
3 9 10 8 3
→⑫←⑩←⑩←⑪→
12↓
1↓ 2↑11↑
←⑫→⑥→⑥→⑪←
7 5 6 4 7 |
|
4 8 11 2
4
→⑫←⑪←⑪←⑥→
12↓ 3↓ 9↑ 6↑
←⑫→⑩→⑩→⑥←
5 7 10 1
5 |
（追記） 平成２５年１２月７日付け
● 正k角形のとき 等差数列の性質を利用して、正多角形の辺上に数字を配置する。
n=2kのとき
その１
1 2 3
4 k 1
→○→○→○→○ … →○→
← ← ← ← ← ←
k+1 k+2 k+3 k+4
2k k+1
| 例 |
1 2 1
→⑤→⑤→
← ← ←
3 4 3
すなわち、
2,3
⑤→⑤
←
1,4 |
|
1 2 3
1
→⑥→⑧→⑦→
← ← ← ←
4 5 6 4
すなわち、
⑥
1,4//
＼＼2,5
⑦ ＝ ⑧
3,6 |
|
1 2 3 4
1
→⑦→⑨→⑪→⑨→
← ← ← ← ←
5 6 7 8 5
すなわち、
2,6
⑦＝⑨
1,5|| ||3,7
⑨＝⑪
4,8 |
その２
1 2 3 4 k
1
⇒○⇒○⇒○⇒○ … ⇒○⇒
2k 2k-1 2k-2 2k-3 k+1
2k
Σがkで割り切れるので、頂点の値（=2k+1）がすべて同じとなる。
| 例 |
1 2
1
⇒⑤⇒⑤⇒
4 3 4
すなわち、
1,4
⑤→⑤
←
2,3 |
|
1 2 3 1
⇒⑦⇒⑦⇒⑦⇒
6 5 4
6
すなわち、
⑦
1,6// ＼＼2,5
⑦ ＝ ⑦
3,4 |
|
1
2 3 4 1
⇒⑨⇒⑨⇒⑨⇒⑨⇒
8 7 6 5 8
すなわち、
2,7
⑨＝⑨
1,8|| ||3,6
⑨＝⑨
4,5 |
n=2k+1のとき
2k+1 1 2 3 k 2k+1
→○⇒○⇒○⇒○ …
⇒○→
2k 2k-1 2k-2
k+1
Σが(k+1)で割り切れるので、頂点の値（=2k+1）がすべて同じとなる。
| 例 |
3 1
3
→③⇒③→
2
すなわち、
1,2
③≡③
3 |
|
5 1 2
5
→⑤⇒⑤⇒⑤→
4 3
すなわち、
⑤
1,4// ＼5
⑤ ＝
⑤
2,3 |
|
7 1 2 3 7
→⑦⇒⑦⇒⑦⇒⑦→
6 5
4
すなわち、
2,5
⑦＝⑦
1,6|| ||3,4
⑦─⑦
7 |
Ｋ．Ｓ．さんからのコメントです。（平成２５年１２月７日付け）
正六面体で新たな解が見つかり、攻略法さんに、感謝です。ました。 重複する部分とそう
でない部分があり、総計１４通り、それ以上あるのかまだわかり ません。 正八面体につい
て、８通り見つかりましたが、それ以上あるかもしれません。
正八面体の場合（１～１２）
この図の場合、対称な形であり、どの同一平面上の４本の和も、２６でなければならないこ
とがわかり、どの一組も４数の和が２６になる場合が全部で５通りあります。
（Ａ） (5,6,7,8),(2,3,10,11),(1,4,9,12) （Ｂ） (4,6,7,9),(2,5,8,11),(1,3,10,12)
（Ｃ） (4,5,8,9),(3,6,7,10),(1,2,11,12) （Ｄ） (3,5,8,10),(2,4,9,11),(1,6,7,12)
（Ｅ） (3,4,9,10),(2,6,7,11),(1,5,812)
この中で、（Ｅ）以外は可能で、逆向きも含め８通りあります。結果どの場合も向かい合う頂
点の値の和が２６になっている。これが一般の他の図の場合も必要条件になっているでしょ
うか？