当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２７年６月７日付け）
各正の実数に対し、
(x13+x23+･･･+xn3+n)(y13+y23+･･･+yn3+n)(z13+z23+･･･+zn3+n)
≧A(x1+x2+･･･+xn)(y1+y2+･･･+yn)(z1+z2+･･･+zn)
が常に成立するような実数Aの最大値は？またその時の条件は何？
（答） DD++さんが考察されました。（平成２８年９月２６日付け）
相加平均と相乗平均の大小関係により、
x[1]3 + 1 = x[1]3 + 1/2 + 1/2 ≧ 3 ( x[1]3 /4 )^(1/3) = 3/(2^(2/3)) x[1]
等号成立は、 x[1]3 = 1/2 つまり、 x[1] = 1/(2^(1/3)) のとき
同様に、 x[2]3 + 1 ≧ 3/(2^(2/3)) x[2]、x[3]3 + 1 ≧ 3/(2^(2/3)) x[3]
……、x[n]3 + 1 ≧ 3/(2^(2/3)) x[n]
等号成立は、それぞれの文字が 1/(2^(1/3)) のとき
これらを全て足し合わせると、
x[1]3 + x[2]3 + …… + x[n]3 + n ≧ 3/(2^(2/3)) ( x[1] + x[2] + …… + x[n] )
等号成立は、全ての文字が 1/(2^(1/3)) のとき
同様に、
y[1]3 + y[2]3 + …… + y[n]3 + n ≧ 3/(2^(2/3)) ( y[1] + y[2] + …… + y[n] )
z[1]3 + z[2]3 + …… + z[n]3 + n ≧ 3/(2^(2/3)) ( z[1] + z[2] + …… + z[n] )
等号成立は、全ての文字が 1/(2^(1/3)) のとき
これらは正の数同士の不等式なので、3つを掛け合わせて、
( x[1]3 + … + x[n]3 + n ) ( y[1]3 + … + y[n]3 + n ) ( z[1]3 + … + z[n]3 + n )
≧ 27/4 ( x[1] + … + x[n] ) ( y[1] + … + y[n] ) ( z[1] + … + z[n] )
等号成立は、全ての文字が 1/(2^(1/3)) のとき
つまり、求めるAの最大値は 27/4 で、そのときの等号成立条件は、全ての文字が
1/(2^(1/3))
のとき。