当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和７年９月６日付け）
ａ、ｂ、ｃを正の数とするとき、 ａ^ａ・ｂ^ｂ・ｃ^ｃ≧(ａｂｃ)^((ａ+ｂ+ｃ)/３) を示せ。
（出典：全米数学オリンピック1974年問題2）
（答） 題意より、 ａ≧ｂ≧ｃ と仮定しても一般性を失わない。
また、不等式を示すには、 ａ^ａ・ｂ^ｂ・ｃ^ｃ/｛(ａｂｃ)^((ａ+ｂ+ｃ)/３)｝≧１ を示せばよい。
すなわち、 ａ＾｛（２ａ−ｂ−ｃ）/３｝・ｂ＾｛（−ａ＋２ｂ−ｃ）/３｝・ｃ＾｛（−ａ−ｂ＋２ｃ）/３｝≧１
を示せばよい。このとき、ａ≧ｂ≧ｃ から、 （２ａ−ｂ−ｃ）/３≧０ 、（−ａ−ｂ＋２ｃ）/３≦０
さらに、 （２ａ−ｂ−ｃ）/３＋（−ａ＋２ｂ−ｃ）/３＋（−ａ−ｂ＋２ｃ）/３＝０ から、
（−ａ＋２ｂ−ｃ）/３＝−（２ａ−ｂ−ｃ）/３−（−ａ−ｂ＋２ｃ）/３
なので、
ａ＾｛（２ａ−ｂ−ｃ）/３｝・ｂ＾｛（−ａ＋２ｂ−ｃ）/３｝・ｃ＾｛（−ａ−ｂ＋２ｃ）/３｝
＝（ａ/ｂ）＾｛（２ａ−ｂ−ｃ）/３｝・（ｃ/ｂ）＾｛（−ａ−ｂ＋２ｃ）/３｝
＝（ａ/ｂ）＾｛（２ａ−ｂ−ｃ）/３｝・（ｂ/ｃ）＾｛−（−ａ−ｂ＋２ｃ）/３｝
このとき、 ａ/ｂ≧１ 、（２ａ−ｂ−ｃ）/３≧０ より、 （ａ/ｂ）＾｛（２ａ−ｂ−ｃ）/３｝≧１
同様に、 ｂ/ｃ≧１ 、−（−ａ−ｂ＋２ｃ）/３≧０ より、 （ｂ/ｃ）＾｛−（−ａ−ｂ＋２ｃ）/３｝≧１
以上から、 ａ＾｛（２ａ−ｂ−ｃ）/３｝・ｂ＾｛（−ａ＋２ｂ−ｃ）/３｝・ｃ＾｛（−ａ−ｂ＋２ｃ）/３｝≧１ が
示され、 ａ^ａ・ｂ^ｂ・ｃ^ｃ≧(ａｂｃ)^((ａ+ｂ+ｃ)/３) であることが示された。 （終）
以下、工事中！