小町覆面算　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　次の覆面算で、□には １ 〜 ９ の数字が各々１回入ります。

　　　　　

　この３桁どうしの足し算はなにか探せますか？







































（答）　
　　　

として、Excel さんにお手伝い頂いて次の結果を得た。 ３３６通りある。

ａｂｃ と ｄｅｆ が逆な場合も含めているので、実質は、１６８通りの解がある。

（当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんにご検証いただきました！）

　解があまりに多すぎるので、パズルにならないかも知れないが、ここで特筆すべきことは、

　　　２つの３桁の整数の和の各位の数の和が１８になっている

点である。これは、とても面白い結果である。

　この事実を、らすかるさんが証明されました。（平成２２年１１月１４日付け）

（証明）　ａ＋ｂ＋ｃ＝ｐ　、ｄ＋ｅ＋ｆ＝ｑ　、ｇ＋ｈ＋ｉ＝ｒ　とすると、

　　　　ａ×１０²＋ｂ×１０＋ｃ≡ａ＋ｂ＋ｃ＝ｐ　（ｍｏｄ　９）

　　　　ｄ×１０²＋ｅ×１０＋ｆ≡ｄ＋ｅ＋ｆ＝ｑ　（ｍｏｄ　９）

　　　　ｇ×１０²＋ｈ×１０＋ｉ≡ｇ＋ｈ＋ｉ＝ｒ　（ｍｏｄ　９）

　ｐ＋ｑ＋ｒ＝４５≡０　（ｍｏｄ　９）　かつ　ｐ＋ｑ≡ｒ　（ｍｏｄ　９）　から、　ｒ≡０　（ｍｏｄ　９）

　　ここで、　６≦ｒ≦２４　なので、　ｒ＝９　または　１８

　ｒ＝９　のとき、

　　｛ ｇ ， ｈ ， ｉ ｝＝｛ １ ， ２ ， ６ ｝、｛ １ ， ３ ， ５ ｝、｛ ２ ， ３ ， ４ ｝　のみ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（順列の総数は、　３！×３＝１８（通り））
　このとき、

　　｛ ｇ ， ｈ ， ｉ ｝＝｛ １ ， ２ ， ６ ｝　のとき、２数の和は７００以上なので、解なし

　　｛ ｇ ， ｈ ， ｉ ｝＝｛ １ ， ３ ， ５ ｝　のとき、２数の和は６００以上なので、解なし

　　｛ ｇ ， ｈ ， ｉ ｝＝｛ ２ ， ３ ， ４ ｝　のとき、２数の和は６００以上なので、解なし

なので、ｒ＝９　の場合は起こり得ない。

　従って、　ｒ＝１８　　（証終）

（コメント）　なるほど、ａ＋ｂ＋ｃ＝ｐ　、・・・　という見方をすればよかったんですね！
　　　　　　ｃ＋ｆ＝・・・・　と考えていて、青木ヶ原の樹海を彷徨っている感じでした。
　　　　　　スッキリしました。らすかるさんに感謝します。


ＦＮさんが、紙と鉛筆で考えられたとのことである。（平成２２年１１月１５日付け）

         abc
        +def
　　　−−−
　　　　 ghi

　まず、繰り上がりがないと仮定する。

　偶数＋偶数＝偶数　、　偶数＋奇数＝奇数　、　奇数＋奇数＝偶数

なので、縦の３つ(ａ、ｄ、ｇ等)のうち、奇数は０個または２個である。即ち偶数個ある。

このとき、全体で奇数は偶数個となるが、奇数は、１、３、５、７、９の５個なので不適。

　よって、必ず繰り上がりはあることになる。

　ここで、繰り上がりが１つあれば、偶奇が１つ逆になり、奇数が奇数個になり、適する。

　　　　　　繰り上がりが２つあれば、もう１つ偶奇が逆になり、奇数が偶数個で、不適。

従って、繰り上がりは、１つだけあることになる。

　一般性を失うことなく、一の位で繰り上がりがあるとしてよい。

　十の位で繰り上がりがあるときは、一の位を百の位にもっていき、百、十の位を十、一の
位とすればよい。

　また、ａ＜ｄ、ｂ＜ｅ、ｃ＜ｆ　としてよい。

　以上の仮定のもとで出したものから、ａ、ｄ の交換、ｂ、ｅ の交換、ｃ、ｆの交換、繰り上がり
位置を十の位にする、の操作で別の解が得られるから、解の個数は１６倍になる。

　らすかるさんの出された結果からするとこの条件のもとで、３３６÷１６＝２１（通り）の解が
得られるはずである。

　以上の仮定を式に書くと次のようになる。

　　ａ＜ｄ＜ｇ＝ａ＋ｄ　、ｂ＜ｅ＜ｈ＝ｂ＋ｅ＋１　、　ｉ＜ｃ＜ｆ　、　ｃ＋ｆ＝１０＋ｉ

　ｇ＋ｈ＋ｉ＝１８　であること

　ｇ＋ｈ＋ｉ＝ａ＋ｄ＋ｂ＋ｅ＋１＋ｃ＋ｆ−１０　において、ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ＝４５

なので、　ｇ＋ｈ＋ｉ＝４５−（ｇ＋ｈ＋ｉ）−９＝３６−（ｇ＋ｈ＋ｉ）

　よって、　ｇ＋ｈ＋ｉ＝１８

（コメント）　「足した結果の各位の数の和が１８」の別証明をいただき、ＦＮさんに感謝します。


　ＦＮさんのやられた方法を参考にして、２１（通り）の解を実際に求めてみよう。

ｂ＝１　のとき

　ｅ＝２　ならば、　ｈ＝４　で、　ｇ＋ｉ＝１４　から、

　　　　（ ｇ ， ｉ ）＝（５ ， ９ ）、（ ６ ， ８ ）、（ ８ ， ６ ）、（ ９ ， ５ ）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ５ ， ９ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝５　、　ｃ＋ｆ＝１９　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ６ ， ８ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝６　、　ｃ＋ｆ＝１８　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ８ ， ６ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝８　、　ｃ＋ｆ＝１６

　　　　このとき、　ａ＝３　、ｄ＝５　で、　ｃ＝７　、ｆ＝９　より、　３１７＋５２９＝８４６

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ９ ， ５ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝９　、　ｃ＋ｆ＝１５

　　　　このとき、　ａ＝３　、ｄ＝６　で、　ｃ＝７　、ｆ＝８　より、　３１７＋６２８＝９４５

　ｅ＝３　ならば、　ｈ＝５　で、　ｇ＋ｉ＝１３　から、

　　　　（ ｇ ， ｉ ）＝（４ ， ９ ）、（ ６ ， ７ ）、（ ７ ， ６ ）、（ ９ ， ４ ）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ４ ， ９ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝４　、　ｃ＋ｆ＝１９　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ６ ， ７ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝６　、　ｃ＋ｆ＝１７

　　　　このとき、　ａ＝２　、ｄ＝４　で、　ｃ＝８　、ｆ＝９　より、　２１８＋４３９＝６５７

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ７ ， ６ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝７　、　ｃ＋ｆ＝１６　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ９ ， ４ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝９　、　ｃ＋ｆ＝１４

　　　　このとき、　ａ＝２　、ｄ＝７　で、　ｃ＝６　、ｆ＝８　より、　２１６＋７３８＝９５４

　ｅ＝４　ならば、　ｈ＝６　で、　ｇ＋ｉ＝１２　から、

　　　　（ ｇ ， ｉ ）＝（３ ， ９ ）、（ ５ ， ７ ）、（ ７ ， ５ ）、（ ９ ， ３ ）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ３ ， ９ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝３　、　ｃ＋ｆ＝１９　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ５ ， ７ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝５　、　ｃ＋ｆ＝１７

　　　　このとき、　ａ＝２　、ｄ＝３　で、　ｃ＝８　、ｆ＝９　より、　２１８＋３４９＝５６７

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ７ ， ５ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝７　、　ｃ＋ｆ＝１５　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ９ ， ３ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝９　、　ｃ＋ｆ＝１３

　　　　このとき、　ａ＝２　、ｄ＝７　で、　ｃ＝５　、ｆ＝８　より、　２１５＋７４８＝９６３

　ｅ＝５　ならば、　ｈ＝７　で、　ｇ＋ｉ＝１１　から、

　　　　（ ｇ ， ｉ ）＝（２ ， ９ ）、（ ３ ， ８ ）、（ ８ ， ３ ）、（ ９ ， ２ ）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ２ ， ９ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝２　、　ｃ＋ｆ＝１９　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ３ ， ８ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝３　、　ｃ＋ｆ＝１８　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ８ ， ３ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝８　、　ｃ＋ｆ＝１３

　　　　このとき、　ａ＝２　、ｄ＝６　で、　ｃ＝４　、ｆ＝９　より、　２１４＋６５９＝８７３

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ９ ， ２ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝９　、　ｃ＋ｆ＝１２

　　　　このとき、　ａ＝３　、ｄ＝６　で、　ｃ＝４　、ｆ＝８　より、　３１４＋６５８＝９７２

　ｅ＝６　ならば、　ｈ＝８　で、　ｇ＋ｉ＝１０　から、（ ｇ ， ｉ ）＝（３ ， ７ ）、（ ７ ， ３ ）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ３ ， ７ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝３　、　ｃ＋ｆ＝１７　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ７ ， ３ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝７　、　ｃ＋ｆ＝１３

　　　　このとき、　ａ＝２　、ｄ＝５　で、　ｃ＝４　、ｆ＝９　より、　２１４＋５６９＝７８３

　ｅ＝７　ならば、　ｈ＝９　で、　ｇ＋ｉ＝９　から、

　　　　（ ｇ ， ｉ ）＝（３ ， ６ ）、（ ４ ， ５ ）、（ ５ ， ４ ）、（ ６ ， ３ ）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ３ ， ６ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝３　、　ｃ＋ｆ＝１６　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ４ ， ５ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝４　、　ｃ＋ｆ＝１５　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ５ ， ４ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝５　、　ｃ＋ｆ＝１４

　　　　このとき、　ａ＝２　、ｄ＝３　で、　ｃ＝６　、ｆ＝８　より、　２１６＋３７８＝５９４

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ６ ， ３ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝６　、　ｃ＋ｆ＝１３

　　　　このとき、　ａ＝２　、ｄ＝４　で、　ｃ＝５　、ｆ＝８　より、　２１５＋４７８＝６９３

ｂ＝２　のとき

　ｅ＝３　ならば、　ｈ＝６　で、　ｇ＋ｉ＝１２　から、

　　　　（ ｇ ， ｉ ）＝（４ ， ８ ）、（ ５ ， ７ ）、（ ７ ， ５ ）、（ ８ ， ４ ）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ４ ， ８ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝４　、　ｃ＋ｆ＝１８　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ５ ， ７ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝５　、　ｃ＋ｆ＝１７

　　　　このとき、　ａ＝１　、ｄ＝４　で、　ｃ＝８　、ｆ＝９　より、　１２８＋４３９＝５６７

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ７ ， ５ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝７　、　ｃ＋ｆ＝１５　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ８ ， ４ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝８　、　ｃ＋ｆ＝１４

　　　　このとき、　ａ＝１　、ｄ＝７　で、　ｃ＝５　、ｆ＝９　より、　１２５＋７３９＝８６４

　ｅ＝４　ならば、　ｈ＝７　で、　ｇ＋ｉ＝１１　から、（ ｇ ， ｉ ）＝（５ ， ６ ）、（ ６ ， ５ ）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ５ ， ６ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝５　、　ｃ＋ｆ＝１６　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ６ ， ５ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝６　、　ｃ＋ｆ＝１５　　（不適）

　ｅ＝５　ならば、　ｈ＝８　で、　ｇ＋ｉ＝１０　から、

　　　　（ ｇ ， ｉ ）＝（１ ， ９ ）、（ ３ ， ７ ）、（ ４ ， ６ ）、（ ６ ， ４ ）、（ ７ ， ３）、（ ９ ， １ ）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ １ ， ９ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝１　、　ｃ＋ｆ＝１９　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ３ ， ７ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝３　、　ｃ＋ｆ＝１７　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ４ ， ６ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝４　、　ｃ＋ｆ＝１６

　　　　このとき、　ａ＝１　、ｄ＝３　で、　ｃ＝７　、ｆ＝９　より、　１２７＋３５９＝４８６

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ６ ， ４ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝６　、　ｃ＋ｆ＝１４　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ７ ， ３ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝７　、　ｃ＋ｆ＝１３

　　　　このとき、　ａ＝１　、ｄ＝６　で、　ｃ＝４　、ｆ＝９　より、　１２４＋６５９＝７８３

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ９ ， １ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝９　、　ｃ＋ｆ＝１１

　　　　このとき、　ａ＝３　、ｄ＝６　で、　ｃ＝４　、ｆ＝７　より、　３２４＋６５７＝９８１

　ｅ＝６　ならば、　ｈ＝９　で、　ｇ＋ｉ＝９　から、

　　　　（ ｇ ， ｉ ）＝（１ ， ８ ）、（ ４ ， ５ ）、（ ５ ， ４ ）、（ ８ ， １ ）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ １ ， ８ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝１　、　ｃ＋ｆ＝１８　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ４ ， ５ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝４　、　ｃ＋ｆ＝１５

　　　　このとき、　ａ＝１　、ｄ＝３　で、　ｃ＝７　、ｆ＝８　より、　１２７＋３６８＝４９５

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ５ ， ４ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝５　、　ｃ＋ｆ＝１４　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ８ ， １ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝８　、　ｃ＋ｆ＝１１

　　　　このとき、　ａ＝３　、ｄ＝５　で、　ｃ＝４　、ｆ＝７　より、　３２４＋５６７＝８９１

ｂ＝３　のとき

　ｅ＝４　ならば、　ｈ＝８　で、　ｇ＋ｉ＝１０　から、（ ｇ ， ｉ ）＝（１ ， ９ ）、（ ９ ， １ ）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ １ ， ９ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝１　、　ｃ＋ｆ＝１９　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ９ ， １ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝９　、　ｃ＋ｆ＝１１

　　　　このとき、　ａ＝２　、ｄ＝７　で、　ｃ＝５　、ｆ＝６　より、　２３５＋７４６＝９８１

　ｅ＝５　ならば、　ｈ＝９　で、　ｇ＋ｉ＝９　から、

　　　　（ ｇ ， ｉ ）＝（１ ， ８ ）、（ ２ ， ７ ）、（ ７ ， ２ ）、（ ８ ， １ ）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ １ ， ８ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝１　、　ｃ＋ｆ＝１８　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ２ ， ７ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝２　、　ｃ＋ｆ＝１７　　（不適）

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ７ ， ２ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝７　、　ｃ＋ｆ＝１２

　　　　このとき、　ａ＝１　、ｄ＝６　で、　ｃ＝４　、ｆ＝８　より、　１３４＋６５８＝７９２

　　（ ｇ ， ｉ ）＝（ ８ ， １ ）　のとき、　ａ＋ｄ＝８　、　ｃ＋ｆ＝１１

　　　　このとき、　ａ＝２　、ｄ＝６　で、　ｃ＝４　、ｆ＝７　より、　２３４＋６５７＝８９１

ｂ≧４　とすると、ｅ≧５　で、ｈ≧１０　となり、これは起こりえない。

　以上から、求める場合は、

　３１７＋５２９＝８４６　、　３１７＋６２８＝９４５　、　２１８＋４３９＝６５７　、

　２１６＋７３８＝９５４　、　２１８＋３４９＝５６７　、　２１５＋７４８＝９６３　、

　２１４＋６５９＝８７３　、　３１４＋６５８＝９７２　、　２１４＋５６９＝７８３　、

　２１６＋３７８＝５９４　、　２１５＋４７８＝６９３　、　１２８＋４３９＝５６７　、

　１２５＋７３９＝８６４　、　１２７＋３５９＝４８６　、　１２４＋６５９＝７８３　、

　３２４＋６５７＝９８１　、　１２７＋３６８＝４９５　、　３２４＋５６７＝８９１　、

　２３５＋７４６＝９８１　、　１３４＋６５８＝７９２　、　２３４＋６５７＝８９１

の２１通りである。


　ＦＮさんからの問題「和を４桁にして、０から９を入れるとしたときの解を求めよ。」を攻略法
さんが求められた。（平成２２年１１月１６日付け）

　Ａ＋Ｂで、Ａ＜Ｂ　とする。また、和の千の位は、「１」と確定する。

検索結果は下表の通りである。

　上表において、1089、1035、1026　の３種類が、１６通りずつで、計　４８通りある。


　ＦＮさんからのコメントです。（平成２２年１１月１６日付け）

　ちょっと調べていたら、もとの問題と変わらない程度にたくさんありそうに思えて「和を４桁
にして０から９を入れるとしてもかなり解がありそうです。」と書いたのですが、もう少し調べ
るとそれほど多くなさそうに思えてきていました。きちんと調べていただいて有難うございま
す。

　すべてを数えても、９６通りですから、元の問題の３３６通りに比べて、かなり少ないですね。
一、十、百の各位について、１行目と２行目の大小を決めておいたならば、９６÷８＝１２通り
ですから、コンピュータを使わなくてもできそうです。

　これなら紙と鉛筆で解ける問題と言えそうです。

　ＦＮさんが「これなら紙と鉛筆で解ける問題と言えそうです。」ということなので、実際に計算
してみた。

ａｂｃ＋ｄｅｆ＝１ｇｈｉ　において、ｇ、ｈ、ｉ　の何れかが０で、他は２以上９以下の自然数

繰り上がりが１回のみのとき

　ｇ＜ａ＜ｄ　、　ａ＋ｄ＝ｇ＋１０　、ｂ＜ｅ＜ｈ＝ｂ＋ｅ　、　ｃ＜ｆ＜ｉ＝ｃ＋ｆ　と仮定する。

ｇ＝０　のとき、　ａ＋ｄ＝１０　で、（ ａ ， ｄ ）＝（ ２ ， ８ ）、（ ３ ， ７ ）、（ ４ ， ６ ）

　（ ａ ， ｄ ）＝（２ ， ８ ）とする。

　ｂ＝３　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ４ ， ７ ）、（ ６ ， ９ ）　何れも解なし

　ｂ＝４　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ５ ， ９ ）　解なし

　（ ａ ， ｄ ）＝（３ ， ７ ）とする。

　ｂ＝２　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ４ ， ６ ）、（ ６ ， ８ ）

　　　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ４ ， ６ ）のとき、　解なし

　　　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ６ ， ８ ）のとき、　（ ｃ ， ｆ ， ｉ ）＝（４ ， ５ ，９ ）

　　　　このとき、　３２４＋７６５＝１０８９

　ｂ＝４　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ５ ， ９ ）

　　　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ５ ， ９ ）のとき、　（ ｃ ， ｆ ， ｉ ）＝（２ ， ６ ，８ ）

　　　　このとき、　３４２＋７５６＝１０９８

　（ ａ ， ｄ ）＝（４ ， ６ ）とする。

　ｂ＝２　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ３ ， ５ ）、（ ５ ， ７ ）、（７ ， ９ ）

　　　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ３ ， ５ ）、（ ５ ， ７ ）のとき、　解なし

　　　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ７ ， ９ ）のとき、　（ ｃ ， ｆ ， ｉ ）＝（３ ， ５ ，８ ）

　　　　このとき、　４２３＋６７５＝１０９８

　ｂ＝３　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ５ ， ８ ）　で、（ ｃ ， ｆ ， ｉ ）＝（２ ， ７ ，９ ）

　　　　このとき、　４３２＋６５７＝１０８９

繰り上がりが２回（百の位と十の位）のみのとき

　ｇ＜ａ＜ｄ　、ａ＋ｄ＝ｇ＋９　、ｈ＜ｂ＜ｅ　、ｂ＋ｅ＝ｈ＋１０　、ｃ＜ｆ＜ｉ＝ｃ＋ｆ　と仮定する。

ｇ＝０　のとき、　ａ＋ｄ＝９　で、（ ａ ， ｄ ）＝（ ２ ， ７ ）、（ ３ ， ６ ）、（ ４ ， ５ ）

　（ ａ ， ｄ ）＝（２ ， ７ ）とする。

　ｂ＝４　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ９ ， ３ ）　解なし

　ｂ＝５　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ８ ， ３ ）、（ ９ ， ４ ）　何れも解なし

　ｂ＝６　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ８ ， ４ ）、（ ９ ， ５ ）　何れも解なし

　（ ａ ， ｄ ）＝（３ ， ６ ）とする。

　ｂ＝４　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ８ ， ２ ）　解なし

　ｂ＝５　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ７ ， ２ ）、（ ９ ， ４ ）　何れも解なし

　ｂ＝７　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ８ ， ５ ）　解なし

　（ ａ ， ｄ ）＝（４ ， ５ ）とする。

　ｂ＝３　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ９ ， ２ ）　解なし

　ｂ＝６　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ７ ， ３ ）　解なし

　ｂ＝７　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ９ ， ６ ）　解なし

ｈ＝０　のとき、　ｂ＋ｅ＝１０　で、（ ｂ ， ｅ ）＝（ ２ ， ８ ）、（ ３ ， ７ ）、（ ４ ， ６ ）

　（ ｂ ， ｅ ）＝（２ ， ８ ）とする。

　ｇ＝３　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ５ ， ７ ）　解なし

　ｇ＝４　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ６ ， ７ ）　解なし

　（ ｂ ， ｅ ）＝（３ ， ７ ）とする。

　ｇ＝２　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ５ ， ６ ）　解なし

　ｇ＝４　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ５ ， ８ ）　解なし

　ｇ＝５　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ６ ， ８ ）　解なし

　（ ｂ ， ｅ ）＝（４ ， ６ ）とする。

　ｇ＝２　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ３ ， ８ ）　解なし

　ｇ＝３　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ５ ， ７ ）　解なし

繰り上がりが２回（百の位と一の位）のみのとき

　ｇ＜ａ＜ｄ　、ａ＋ｄ＝ｇ＋１０　、ｂ＜ｅ＜ｈ　、ｂ＋ｅ−１＝ｈ　、ｉ＜ｃ＜ｆ　、ｃ＋ｆ＝ｉ＋１０　と仮

定する。

ｇ＝０　のとき、　ａ＋ｄ＝１０　で、（ ａ ， ｄ ）＝（ ２ ， ８ ）、（ ３ ， ７ ）、（ ４ ， ６ ）

　（ ａ ， ｄ ）＝（２ ， ８ ）とする。

　ｂ＝３　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ４ ， ６ ）、（ ５ ， ７ ）、（ ７ ， ９ ）　何れも解なし

　ｂ＝４　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ６ ， ９ ）　解なし

　（ ａ ， ｄ ）＝（３ ， ７ ）とする。

　ｂ＝２　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ４ ， ５ ）、（ ５ ， ６ ）、（ ８ ， ９ ）　何れも解なし

　ｂ＝４　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ５ ， ８ ）、（ ６ ， ９ ）　何れも解なし

　（ ａ ， ｄ ）＝（４ ， ６ ）とする。

　ｂ＝２　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ７ ， ８ ）、（ ８ ， ９ ）　何れも解なし

　ｂ＝３　のとき、　（ ｅ ， ｈ ）＝（ ５ ， ７ ）、（ ７ ， ９ ）　何れも解なし

ｉ＝０　のとき、　ｃ＋ｆ＝１０　で、（ ｃ ， ｆ ）＝（ ２ ， ８ ）、（ ３ ， ７ ）、（ ４ ， ６ ）

　（ ｃ ， ｆ ）＝（２ ， ８ ）とする。

　ｇ＝３　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ４ ， ９ ）　解なし

　ｇ＝４　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ５ ， ９ ）　解なし

　ｇ＝５　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ６ ， ９ ）　解なし

　ｇ＝６　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ７ ， ９ ）　解なし

　（ ｃ ， ｆ ）＝（３ ， ７ ）とする。

　ｇ＝２　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ４ ， ８ ）　解なし

　ｇ＝４　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ５ ， ９ ）、（ ６ ， ８ ）　何れも解なし

　ｇ＝５　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ６ ， ９ ）　解なし

　（ ｃ ， ｆ ）＝（４ ， ６ ）とする。

　ｇ＝２　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ５ ， ７ ）　解なし

　ｇ＝３　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ４ ， ９ ）、（ ５ ， ８ ）　何れも解なし

　ｇ＝５　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ７ ， ８ ）　解なし

　ｇ＝７　とするとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ８ ， ９ ）　解なし

次に、繰り上がりが３回のときを考える。

　ｇ＜ａ＜ｄ　、ａ＋ｄ＝ｇ＋９　、ｈ＜ｂ＜ｅ　、ｂ＋ｅ＝ｈ＋９　、ｉ＜ｃ＜ｆ　、ｃ＋ｆ＝ｉ＋１０　と仮

定する。

ｇ＝０　のとき、　ａ＋ｄ＝９　で、（ ａ ， ｄ ）＝（ ２ ， ７ ）、（ ３ ， ６ ）、（ ４ ， ５ ）

　（ ａ ， ｄ ）＝（２ ， ７ ）とする。

　ｉ＝３　のとき、　（ ｃ ， ｆ ）＝（ ４ ， ９ ）、（ ５ ， ８ ）

　　　（ ｃ ， ｆ ）＝（ ４ ， ９ ）のとき、　（ ｂ ， ｅ ， ｈ ）＝（６ ， ８ ，５ ）

　　　　このとき、　２６４＋７８９＝１０５３

　　　（ ｃ ， ｆ ）＝（ ５ ， ８ ）のとき、　解なし

　ｉ＝４　のとき、　（ ｃ ， ｆ ）＝（ ５ ， ９ ）、（ ６ ， ８ ）　何れも解なし

　ｉ＝５　のとき、　（ ｃ ， ｆ ）＝（ ６ ， ９ ）　で、　（ ｂ ， ｅ ， ｈ ）＝（４ ， ８ ，３ ）

　　　　このとき、　２４６＋７８９＝１０３５

　（ ａ ， ｄ ）＝（３ ， ６ ）とする。

　ｉ＝２　のとき、　（ ｃ ， ｆ ）＝（ ４ ， ８ ）、（ ５ ， ７ ）　何れも解なし

　ｉ＝４　のとき、　（ ｃ ， ｆ ）＝（ ５ ， ９ ）　解なし

　ｉ＝５　のとき、　（ ｃ ， ｆ ）＝（ ７ ， ８ ）　解なし

　ｉ＝７　のとき、　（ ｃ ， ｆ ）＝（ ８ ， ９ ）　解なし

　（ ａ ， ｄ ）＝（４ ， ５ ）とする。

　ｉ＝２　のとき、　（ ｃ ， ｆ ）＝（ ３ ， ９ ）　で、　（ ｂ ， ｅ ， ｈ ）＝（７ ， ８ ，６ ）

　　　　このとき、　４７３＋５８９＝１０６２

　ｉ＝３　のとき、　（ ｃ ， ｆ ）＝（ ６ ， ７ ）　解なし

　ｉ＝６　のとき、　（ ｃ ， ｆ ）＝（ ７ ， ９ ）　で、　（ ｂ ， ｅ ， ｈ ）＝（３ ， ８ ，２ ）

　　　　このとき、　４３７＋５８９＝１０２６

　ｉ＝７　のとき、　（ ｃ ， ｆ ）＝（ ８ ， ９ ）　解なし

ｈ＝０　のとき、　ｂ＋ｅ＝９　で、（ ｂ ， ｅ ）＝（ ２ ， ７ ）、（ ３ ， ６ ）、（ ４ ， ５ ）

　（ ｂ ， ｅ ）＝（２ ， ７ ）とする。

　ｇ＝３　のとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ４ ， ８ ）　で、　（ ｃ ， ｆ ， ｉ ）＝（６ ， ９ ，５ ）

　　　　このとき、　４２６＋８７９＝１３０５

　ｇ＝４　のとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ５ ， ８ ）　解なし

　ｇ＝５　のとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ６ ， ８ ）　で、　（ ｃ ， ｆ ， ｉ ）＝（４ ， ９ ，３ ）

　　　　このとき、　６２４＋８７９＝１５０３

　（ ｂ ， ｅ ）＝（３ ， ６ ）とする。

　ｇ＝２　のとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ４ ， ７ ）　解なし

　ｇ＝４　のとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ５ ， ８ ）　解なし

　（ ｂ ， ｅ ）＝（４ ， ５ ）とする。

　ｇ＝２　のとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ３ ， ８ ）　で、　（ ｃ ， ｆ ， ｉ ）＝（７ ， ９ ，６ ）

　　　　このとき、　３４７＋８５９＝１２０６

　ｇ＝６　のとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ７ ， ８ ）　で、　（ ｃ ， ｆ ， ｉ ）＝（３ ， ９ ，２ ）

　　　　このとき、　７４３＋８５９＝１６０２

ｉ＝０　のとき、　（ ｃ ， ｆ ）＝（ ２ ， ８ ）、（ ３ ， ７ ）、（ ４ ， ６ ）

　（ ｃ ， ｆ ）＝（２ ， ８ ）とする。

　ｇ＝３　のとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ５ ， ７ ）　解なし

　ｇ＝４　のとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ６ ， ７ ）　解なし

　（ ｃ ， ｆ ）＝（３ ， ７ ）とする。

　ｇ＝２　のとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ５ ， ６ ）　解なし

　ｇ＝４　のとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ５ ， ８ ）　解なし

　ｇ＝５　のとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ６ ， ８ ）　解なし

　（ ｃ ， ｆ ）＝（４ ， ６ ）とする。

　ｇ＝２　のとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ３ ， ８ ）　解なし

　ｇ＝３　のとき、　（ ａ ， ｄ ）＝（ ５ ， ７ ）　解なし

（コメント）　数え漏れがあったので訂正しました．．．ｆ(^_^;)。

　上記で探索した解をベースにして、攻略法さんの解を分類してみた。

　　　以下工事中