小町覆面算                             戻る

 次の覆面算で、□には 1 〜 9 の数字が各々1回入ります。

     

 この3桁どうしの足し算はなにか探せますか?







































(答) 
   

として、Excel さんにお手伝い頂いて次の結果を得た。 336通りある。

abc と def が逆な場合も含めているので、実質は、168通りの解がある。

(当HPがいつもお世話になっているHN「らすかる」さんにご検証いただきました!)

1 2 4 6 5 9 7 8 3
1 2 5 7 3 9 8 6 4
1 2 7 3 5 9 4 8 6
1 2 7 3 6 8 4 9 5
1 2 8 3 6 7 4 9 5
1 2 8 4 3 9 5 6 7
1 2 9 3 5 7 4 8 6
1 2 9 4 3 8 5 6 7
1 2 9 6 5 4 7 8 3
1 2 9 7 3 5 8 6 4
1 3 4 6 5 8 7 9 2
1 3 5 7 2 9 8 6 4
1 3 8 4 2 9 5 6 7
1 3 8 6 5 4 7 9 2
1 3 9 4 2 8 5 6 7
1 3 9 7 2 5 8 6 4
1 4 2 5 9 6 7 3 8
1 4 2 6 9 5 8 3 7
1 4 3 5 8 6 7 2 9
1 4 5 6 9 2 8 3 7
1 4 6 5 8 3 7 2 9
1 4 6 5 9 2 7 3 8
1 5 2 4 8 7 6 3 9
1 5 2 7 8 4 9 3 6
1 5 4 6 2 9 7 8 3
1 5 4 6 3 8 7 9 2
1 5 4 7 8 2 9 3 6
1 5 7 3 2 9 4 8 6
1 5 7 4 8 2 6 3 9
1 5 8 6 3 4 7 9 2
1 5 9 3 2 7 4 8 6
1 5 9 6 2 4 7 8 3
1 6 2 3 8 7 5 4 9
1 6 2 7 8 3 9 4 5
1 6 3 7 8 2 9 4 5
1 6 7 3 2 8 4 9 5
1 6 7 3 8 2 5 4 9
1 6 8 3 2 7 4 9 5
1 7 3 2 8 6 4 5 9
1 7 3 2 9 5 4 6 8
1 7 5 2 9 3 4 6 8
1 7 6 2 8 3 4 5 9
1 8 2 3 6 7 5 4 9
1 8 2 3 9 4 5 7 6
1 8 2 4 5 7 6 3 9
1 8 2 4 9 3 6 7 5
1 8 2 7 5 4 9 3 6
1 8 2 7 6 3 9 4 5
1 8 3 2 7 6 4 5 9
1 8 3 4 9 2 6 7 5
1 8 3 5 4 6 7 2 9
1 8 3 7 6 2 9 4 5
1 8 4 3 9 2 5 7 6
1 8 4 7 5 2 9 3 6
1 8 6 2 7 3 4 5 9
1 8 6 5 4 3 7 2 9
1 8 7 3 6 2 5 4 9
1 8 7 4 5 2 6 3 9
1 9 2 3 8 4 5 7 6
1 9 2 4 8 3 6 7 5
1 9 2 5 4 6 7 3 8
1 9 2 6 4 5 8 3 7
1 9 3 2 7 5 4 6 8
1 9 3 4 8 2 6 7 5
1 9 4 3 8 2 5 7 6
1 9 5 2 7 3 4 6 8
1 9 5 6 4 2 8 3 7
1 9 6 5 4 2 7 3 8
2 1 4 5 6 9 7 8 3
2 1 4 6 5 9 8 7 3
2 1 5 4 7 8 6 9 3
2 1 5 7 4 8 9 6 3
2 1 6 3 7 8 5 9 4
2 1 6 7 3 8 9 5 4
2 1 8 3 4 9 5 6 7
2 1 8 3 7 6 5 9 4
2 1 8 4 3 9 6 5 7
2 1 8 4 7 5 6 9 3
2 1 8 7 3 6 9 5 4
2 1 8 7 4 5 9 6 3
2 1 9 3 4 8 5 6 7
2 1 9 4 3 8 6 5 7
2 1 9 5 6 4 7 8 3
2 1 9 6 5 4 8 7 3
2 3 4 6 5 7 8 9 1
2 3 5 7 4 6 9 8 1
2 3 6 7 1 8 9 5 4
2 3 6 7 4 5 9 8 1
2 3 7 6 5 4 8 9 1
2 3 8 4 1 9 6 5 7
2 3 8 7 1 6 9 5 4
2 3 9 4 1 8 6 5 7
2 4 1 5 9 6 8 3 7
2 4 3 5 7 6 8 1 9
2 4 3 6 7 5 9 1 8
2 4 5 6 7 3 9 1 8
2 4 5 7 1 8 9 6 3
2 4 5 7 3 6 9 8 1
2 4 6 5 7 3 8 1 9
2 4 6 5 9 1 8 3 7
2 4 6 7 3 5 9 8 1
2 4 8 3 1 9 5 6 7
2 4 8 7 1 5 9 6 3
2 4 9 3 1 8 5 6 7
2 5 1 3 9 7 6 4 8
2 5 4 6 1 9 8 7 3
2 5 4 6 3 7 8 9 1
2 5 7 3 9 1 6 4 8
2 5 7 6 3 4 8 9 1
2 5 9 6 1 4 8 7 3
2 6 4 5 1 9 7 8 3
2 6 9 5 1 4 7 8 3
2 7 1 5 9 3 8 6 4
2 7 1 6 8 3 9 5 4
2 7 3 1 8 6 4 5 9
2 7 3 1 9 5 4 6 8
2 7 3 5 4 6 8 1 9
2 7 3 5 9 1 8 6 4
2 7 3 6 4 5 9 1 8
2 7 3 6 8 1 9 5 4
2 7 5 1 9 3 4 6 8
2 7 5 4 1 8 6 9 3
2 7 5 6 4 3 9 1 8
2 7 6 1 8 3 4 5 9
2 7 6 3 1 8 5 9 4
2 7 6 5 4 3 8 1 9
2 7 8 3 1 6 5 9 4
2 7 8 4 1 5 6 9 3
2 8 1 3 9 4 6 7 5
2 8 1 6 7 3 9 5 4
2 8 3 1 7 6 4 5 9
2 8 3 6 7 1 9 5 4
2 8 4 3 9 1 6 7 5
2 8 6 1 7 3 4 5 9
2 9 1 3 5 7 6 4 8
2 9 1 3 8 4 6 7 5
2 9 1 5 4 6 8 3 7
2 9 1 5 7 3 8 6 4
2 9 3 1 7 5 4 6 8
2 9 3 5 7 1 8 6 4
2 9 4 3 8 1 6 7 5
2 9 5 1 7 3 4 6 8
2 9 6 5 4 1 8 3 7
2 9 7 3 5 1 6 4 8
3 1 4 6 5 8 9 7 2
3 1 6 2 7 8 5 9 4
3 1 7 5 2 9 8 4 6
3 1 7 6 2 8 9 4 5
3 1 8 2 4 9 5 6 7
3 1 8 2 7 6 5 9 4
3 1 8 6 2 7 9 4 5
3 1 8 6 5 4 9 7 2
3 1 9 2 4 8 5 6 7
3 1 9 5 2 7 8 4 6
3 2 4 5 6 7 8 9 1
3 2 4 6 5 7 9 8 1
3 2 7 1 5 9 4 8 6
3 2 7 1 6 8 4 9 5
3 2 7 5 1 9 8 4 6
3 2 7 5 6 4 8 9 1
3 2 7 6 1 8 9 4 5
3 2 7 6 5 4 9 8 1
3 2 8 1 6 7 4 9 5
3 2 8 6 1 7 9 4 5
3 2 9 1 5 7 4 8 6
3 2 9 5 1 7 8 4 6
3 4 1 5 8 6 9 2 7
3 4 2 5 7 6 9 1 8
3 4 6 5 7 2 9 1 8
3 4 6 5 8 1 9 2 7
3 4 8 2 1 9 5 6 7
3 4 9 2 1 8 5 6 7
3 5 1 2 9 7 6 4 8
3 5 2 4 6 7 8 1 9
3 5 4 6 1 8 9 7 2
3 5 4 6 2 7 9 8 1
3 5 7 1 2 9 4 8 6
3 5 7 2 9 1 6 4 8
3 5 7 4 6 2 8 1 9
3 5 7 6 2 4 9 8 1
3 5 8 6 1 4 9 7 2
3 5 9 1 2 7 4 8 6
3 6 2 1 8 7 5 4 9
3 6 2 4 5 7 8 1 9
3 6 4 5 2 7 8 9 1
3 6 7 1 2 8 4 9 5
3 6 7 1 8 2 5 4 9
3 6 7 4 5 2 8 1 9
3 6 7 5 2 4 8 9 1
3 6 8 1 2 7 4 9 5
3 7 2 5 4 6 9 1 8
3 7 6 2 1 8 5 9 4
3 7 6 5 4 2 9 1 8
3 7 8 2 1 6 5 9 4
3 8 1 2 9 4 6 7 5
3 8 1 5 4 6 9 2 7
3 8 2 1 6 7 5 4 9
3 8 2 1 9 4 5 7 6
3 8 4 1 9 2 5 7 6
3 8 4 2 9 1 6 7 5
3 8 6 5 4 1 9 2 7
3 8 7 1 6 2 5 4 9
3 9 1 2 5 7 6 4 8
3 9 1 2 8 4 6 7 5
3 9 2 1 8 4 5 7 6
3 9 4 1 8 2 5 7 6
3 9 4 2 8 1 6 7 5
3 9 7 2 5 1 6 4 8
4 1 5 2 7 8 6 9 3
4 1 8 2 3 9 6 5 7
4 1 8 2 7 5 6 9 3
4 1 9 2 3 8 6 5 7
4 2 8 1 3 9 5 6 7
4 2 9 1 3 8 5 6 7
4 3 8 1 2 9 5 6 7
4 3 8 2 1 9 6 5 7
4 3 9 1 2 8 5 6 7
4 3 9 2 1 8 6 5 7
4 5 2 1 8 7 6 3 9
4 5 2 3 6 7 8 1 9
4 5 7 1 8 2 6 3 9
4 5 7 3 6 2 8 1 9
4 6 2 3 5 7 8 1 9
4 6 7 3 5 2 8 1 9
4 7 5 2 1 8 6 9 3
4 7 8 2 1 5 6 9 3
4 8 2 1 5 7 6 3 9
4 8 2 1 9 3 6 7 5
4 8 3 1 9 2 6 7 5
4 8 7 1 5 2 6 3 9
4 9 2 1 8 3 6 7 5
4 9 3 1 8 2 6 7 5
5 1 4 2 6 9 7 8 3
5 1 7 3 2 9 8 4 6
5 1 9 2 6 4 7 8 3
5 1 9 3 2 7 8 4 6
5 2 4 3 6 7 8 9 1
5 2 7 3 1 9 8 4 6
5 2 7 3 6 4 8 9 1
5 2 9 3 1 7 8 4 6
5 4 1 2 9 6 8 3 7
5 4 1 3 8 6 9 2 7
5 4 2 1 9 6 7 3 8
5 4 2 3 7 6 9 1 8
5 4 3 1 8 6 7 2 9
5 4 3 2 7 6 8 1 9
5 4 6 1 8 3 7 2 9
5 4 6 1 9 2 7 3 8
5 4 6 2 7 3 8 1 9
5 4 6 2 9 1 8 3 7
5 4 6 3 7 2 9 1 8
5 4 6 3 8 1 9 2 7
5 6 4 2 1 9 7 8 3
5 6 4 3 2 7 8 9 1
5 6 7 3 2 4 8 9 1
5 6 9 2 1 4 7 8 3
5 7 1 2 9 3 8 6 4
5 7 2 3 4 6 9 1 8
5 7 3 2 4 6 8 1 9
5 7 3 2 9 1 8 6 4
5 7 6 2 4 3 8 1 9
5 7 6 3 4 2 9 1 8
5 8 1 3 4 6 9 2 7
5 8 3 1 4 6 7 2 9
5 8 6 1 4 3 7 2 9
5 8 6 3 4 1 9 2 7
5 9 1 2 4 6 8 3 7
5 9 1 2 7 3 8 6 4
5 9 2 1 4 6 7 3 8
5 9 3 2 7 1 8 6 4
5 9 6 1 4 2 7 3 8
5 9 6 2 4 1 8 3 7
6 1 4 2 5 9 8 7 3
6 1 4 3 5 8 9 7 2
6 1 7 3 2 8 9 4 5
6 1 8 3 2 7 9 4 5
6 1 8 3 5 4 9 7 2
6 1 9 2 5 4 8 7 3
6 2 4 1 5 9 7 8 3
6 2 4 3 5 7 9 8 1
6 2 7 3 1 8 9 4 5
6 2 7 3 5 4 9 8 1
6 2 8 3 1 7 9 4 5
6 2 9 1 5 4 7 8 3
6 3 4 1 5 8 7 9 2
6 3 4 2 5 7 8 9 1
6 3 7 2 5 4 8 9 1
6 3 8 1 5 4 7 9 2
6 4 2 1 9 5 8 3 7
6 4 3 2 7 5 9 1 8
6 4 5 1 9 2 8 3 7
6 4 5 2 7 3 9 1 8
6 5 4 1 2 9 7 8 3
6 5 4 1 3 8 7 9 2
6 5 4 2 1 9 8 7 3
6 5 4 2 3 7 8 9 1
6 5 4 3 1 8 9 7 2
6 5 4 3 2 7 9 8 1
6 5 7 2 3 4 8 9 1
6 5 7 3 2 4 9 8 1
6 5 8 1 3 4 7 9 2
6 5 8 3 1 4 9 7 2
6 5 9 1 2 4 7 8 3
6 5 9 2 1 4 8 7 3
6 7 1 2 8 3 9 5 4
6 7 3 2 4 5 9 1 8
6 7 3 2 8 1 9 5 4
6 7 5 2 4 3 9 1 8
6 8 1 2 7 3 9 5 4
6 8 3 2 7 1 9 5 4
6 9 2 1 4 5 8 3 7
6 9 5 1 4 2 8 3 7
7 1 5 2 4 8 9 6 3
7 1 6 2 3 8 9 5 4
7 1 8 2 3 6 9 5 4
7 1 8 2 4 5 9 6 3
7 2 5 1 3 9 8 6 4
7 2 9 1 3 5 8 6 4
7 3 5 1 2 9 8 6 4
7 3 5 2 4 6 9 8 1
7 3 6 2 1 8 9 5 4
7 3 6 2 4 5 9 8 1
7 3 8 2 1 6 9 5 4
7 3 9 1 2 5 8 6 4
7 4 5 2 1 8 9 6 3
7 4 5 2 3 6 9 8 1
7 4 6 2 3 5 9 8 1
7 4 8 2 1 5 9 6 3
7 5 2 1 8 4 9 3 6
7 5 4 1 8 2 9 3 6
7 6 2 1 8 3 9 4 5
7 6 3 1 8 2 9 4 5
7 8 2 1 5 4 9 3 6
7 8 2 1 6 3 9 4 5
7 8 3 1 6 2 9 4 5
7 8 4 1 5 2 9 3 6

 解があまりに多すぎるので、パズルにならないかも知れないが、ここで特筆すべきことは、

   2つの3桁の整数の和の各位の数の和が18になっている

点である。これは、とても面白い結果である。

 この事実を、らすかるさんが証明されました。(平成22年11月14日付け)

(証明) a+b+c=p 、d+e+f=q 、g+h+i=r とすると、

    a×102+b×10+c≡a+b+c=p (mod 9)

    d×102+e×10+f≡d+e+f=q (mod 9)

    g×102+h×10+i≡g+h+i=r (mod 9)

 p+q+r=45≡0 (mod 9) かつ p+q≡r (mod 9) から、 r≡0 (mod 9)

  ここで、 6≦r≦24 なので、 r=9 または 18

 r=9 のとき、

  { g , h , i }={ 1 , 2 , 6 }、{ 1 , 3 , 5 }、{ 2 , 3 , 4 } のみ
                              (順列の総数は、 3!×3=18(通り))
 このとき、

  { g , h , i }={ 1 , 2 , 6 } のとき、2数の和は700以上なので、解なし

  { g , h , i }={ 1 , 3 , 5 } のとき、2数の和は600以上なので、解なし

  { g , h , i }={ 2 , 3 , 4 } のとき、2数の和は600以上なので、解なし

なので、r=9 の場合は起こり得ない。

 従って、 r=18  (証終)

(コメント) なるほど、a+b+c=p 、・・・ という見方をすればよかったんですね!
      c+f=・・・・ と考えていて、青木ヶ原の樹海を彷徨っている感じでした。
      スッキリしました。らすかるさんに感謝します。


FNさんが、紙と鉛筆で考えられたとのことである。(平成22年11月15日付け)

         abc
        +def
   −−−
     ghi

 まず、繰り上がりがないと仮定する。

 偶数+偶数=偶数 、 偶数+奇数=奇数 、 奇数+奇数=偶数

なので、縦の3つ(a、d、g等)のうち、奇数は0個または2個である。即ち偶数個ある。

このとき、全体で奇数は偶数個となるが、奇数は、1、3、5、7、9の5個なので不適。

 よって、必ず繰り上がりはあることになる。

 ここで、繰り上がりが1つあれば、偶奇が1つ逆になり、奇数が奇数個になり、適する。

      繰り上がりが2つあれば、もう1つ偶奇が逆になり、奇数が偶数個で、不適。

従って、繰り上がりは、1つだけあることになる。

 一般性を失うことなく、一の位で繰り上がりがあるとしてよい。

 十の位で繰り上がりがあるときは、一の位を百の位にもっていき、百、十の位を十、一の
位とすればよい。

 また、a<d、b<e、c<f としてよい。

 以上の仮定のもとで出したものから、a、d の交換、b、e の交換、c、fの交換、繰り上がり
位置を十の位にする、の操作で別の解が得られるから、解の個数は16倍になる。

 らすかるさんの出された結果からするとこの条件のもとで、336÷16=21(通り)の解が
得られるはずである。

 以上の仮定を式に書くと次のようになる。

  a<d<g=a+d 、b<e<h=b+e+1 、 i<c<f 、 c+f=10+i

 g+h+i=18 であること

 g+h+i=a+d+b+e+1+c+f−10 において、a+b+c+d+e+f+g+h+i=45

なので、 g+h+i=45−(g+h+i)−9=36−(g+h+i)

 よって、 g+h+i=18

(コメント) 「足した結果の各位の数の和が18」の別証明をいただき、FNさんに感謝します。


 FNさんのやられた方法を参考にして、21(通り)の解を実際に求めてみよう。

b=1 のとき

 e=2 ならば、 h=4 で、 g+i=14 から、

    ( g , i )=(5 , 9 )、( 6 , 8 )、( 8 , 6 )、( 9 , 5 )

  ( g , i )=( 5 , 9 ) のとき、 a+d=5 、 c+f=19  (不適)

  ( g , i )=( 6 , 8 ) のとき、 a+d=6 、 c+f=18  (不適)

  ( g , i )=( 8 , 6 ) のとき、 a+d=8 、 c+f=16

    このとき、 a=3 、d=5 で、 c=7 、f=9 より、 317+529=846

  ( g , i )=( 9 , 5 ) のとき、 a+d=9 、 c+f=15

    このとき、 a=3 、d=6 で、 c=7 、f=8 より、 317+628=945

 e=3 ならば、 h=5 で、 g+i=13 から、

    ( g , i )=(4 , 9 )、( 6 , 7 )、( 7 , 6 )、( 9 , 4 )

  ( g , i )=( 4 , 9 ) のとき、 a+d=4 、 c+f=19  (不適)

  ( g , i )=( 6 , 7 ) のとき、 a+d=6 、 c+f=17

    このとき、 a=2 、d=4 で、 c=8 、f=9 より、 218+439=657

  ( g , i )=( 7 , 6 ) のとき、 a+d=7 、 c+f=16  (不適)

  ( g , i )=( 9 , 4 ) のとき、 a+d=9 、 c+f=14

    このとき、 a=2 、d=7 で、 c=6 、f=8 より、 216+738=954

 e=4 ならば、 h=6 で、 g+i=12 から、

    ( g , i )=(3 , 9 )、( 5 , 7 )、( 7 , 5 )、( 9 , 3 )

  ( g , i )=( 3 , 9 ) のとき、 a+d=3 、 c+f=19  (不適)

  ( g , i )=( 5 , 7 ) のとき、 a+d=5 、 c+f=17

    このとき、 a=2 、d=3 で、 c=8 、f=9 より、 218+349=567

  ( g , i )=( 7 , 5 ) のとき、 a+d=7 、 c+f=15  (不適)

  ( g , i )=( 9 , 3 ) のとき、 a+d=9 、 c+f=13

    このとき、 a=2 、d=7 で、 c=5 、f=8 より、 215+748=963

 e=5 ならば、 h=7 で、 g+i=11 から、

    ( g , i )=(2 , 9 )、( 3 , 8 )、( 8 , 3 )、( 9 , 2 )

  ( g , i )=( 2 , 9 ) のとき、 a+d=2 、 c+f=19  (不適)

  ( g , i )=( 3 , 8 ) のとき、 a+d=3 、 c+f=18  (不適)

  ( g , i )=( 8 , 3 ) のとき、 a+d=8 、 c+f=13

    このとき、 a=2 、d=6 で、 c=4 、f=9 より、 214+659=873

  ( g , i )=( 9 , 2 ) のとき、 a+d=9 、 c+f=12

    このとき、 a=3 、d=6 で、 c=4 、f=8 より、 314+658=972

 e=6 ならば、 h=8 で、 g+i=10 から、( g , i )=(3 , 7 )、( 7 , 3 )

  ( g , i )=( 3 , 7 ) のとき、 a+d=3 、 c+f=17  (不適)

  ( g , i )=( 7 , 3 ) のとき、 a+d=7 、 c+f=13

    このとき、 a=2 、d=5 で、 c=4 、f=9 より、 214+569=783

 e=7 ならば、 h=9 で、 g+i=9 から、

    ( g , i )=(3 , 6 )、( 4 , 5 )、( 5 , 4 )、( 6 , 3 )

  ( g , i )=( 3 , 6 ) のとき、 a+d=3 、 c+f=16  (不適)

  ( g , i )=( 4 , 5 ) のとき、 a+d=4 、 c+f=15  (不適)

  ( g , i )=( 5 , 4 ) のとき、 a+d=5 、 c+f=14

    このとき、 a=2 、d=3 で、 c=6 、f=8 より、 216+378=594

  ( g , i )=( 6 , 3 ) のとき、 a+d=6 、 c+f=13

    このとき、 a=2 、d=4 で、 c=5 、f=8 より、 215+478=693

b=2 のとき

 e=3 ならば、 h=6 で、 g+i=12 から、

    ( g , i )=(4 , 8 )、( 5 , 7 )、( 7 , 5 )、( 8 , 4 )

  ( g , i )=( 4 , 8 ) のとき、 a+d=4 、 c+f=18  (不適)

  ( g , i )=( 5 , 7 ) のとき、 a+d=5 、 c+f=17

    このとき、 a=1 、d=4 で、 c=8 、f=9 より、 128+439=567

  ( g , i )=( 7 , 5 ) のとき、 a+d=7 、 c+f=15  (不適)

  ( g , i )=( 8 , 4 ) のとき、 a+d=8 、 c+f=14

    このとき、 a=1 、d=7 で、 c=5 、f=9 より、 125+739=864

 e=4 ならば、 h=7 で、 g+i=11 から、( g , i )=(5 , 6 )、( 6 , 5 )

  ( g , i )=( 5 , 6 ) のとき、 a+d=5 、 c+f=16  (不適)

  ( g , i )=( 6 , 5 ) のとき、 a+d=6 、 c+f=15  (不適)

 e=5 ならば、 h=8 で、 g+i=10 から、

    ( g , i )=(1 , 9 )、( 3 , 7 )、( 4 , 6 )、( 6 , 4 )、( 7 , 3)、( 9 , 1 )

  ( g , i )=( 1 , 9 ) のとき、 a+d=1 、 c+f=19  (不適)

  ( g , i )=( 3 , 7 ) のとき、 a+d=3 、 c+f=17  (不適)

  ( g , i )=( 4 , 6 ) のとき、 a+d=4 、 c+f=16

    このとき、 a=1 、d=3 で、 c=7 、f=9 より、 127+359=486

  ( g , i )=( 6 , 4 ) のとき、 a+d=6 、 c+f=14  (不適)

  ( g , i )=( 7 , 3 ) のとき、 a+d=7 、 c+f=13

    このとき、 a=1 、d=6 で、 c=4 、f=9 より、 124+659=783

  ( g , i )=( 9 , 1 ) のとき、 a+d=9 、 c+f=11

    このとき、 a=3 、d=6 で、 c=4 、f=7 より、 324+657=981

 e=6 ならば、 h=9 で、 g+i=9 から、

    ( g , i )=(1 , 8 )、( 4 , 5 )、( 5 , 4 )、( 8 , 1 )

  ( g , i )=( 1 , 8 ) のとき、 a+d=1 、 c+f=18  (不適)

  ( g , i )=( 4 , 5 ) のとき、 a+d=4 、 c+f=15

    このとき、 a=1 、d=3 で、 c=7 、f=8 より、 127+368=495

  ( g , i )=( 5 , 4 ) のとき、 a+d=5 、 c+f=14  (不適)

  ( g , i )=( 8 , 1 ) のとき、 a+d=8 、 c+f=11

    このとき、 a=3 、d=5 で、 c=4 、f=7 より、 324+567=891

b=3 のとき

 e=4 ならば、 h=8 で、 g+i=10 から、( g , i )=(1 , 9 )、( 9 , 1 )

  ( g , i )=( 1 , 9 ) のとき、 a+d=1 、 c+f=19  (不適)

  ( g , i )=( 9 , 1 ) のとき、 a+d=9 、 c+f=11

    このとき、 a=2 、d=7 で、 c=5 、f=6 より、 235+746=981

 e=5 ならば、 h=9 で、 g+i=9 から、

    ( g , i )=(1 , 8 )、( 2 , 7 )、( 7 , 2 )、( 8 , 1 )

  ( g , i )=( 1 , 8 ) のとき、 a+d=1 、 c+f=18  (不適)

  ( g , i )=( 2 , 7 ) のとき、 a+d=2 、 c+f=17  (不適)

  ( g , i )=( 7 , 2 ) のとき、 a+d=7 、 c+f=12

    このとき、 a=1 、d=6 で、 c=4 、f=8 より、 134+658=792

  ( g , i )=( 8 , 1 ) のとき、 a+d=8 、 c+f=11

    このとき、 a=2 、d=6 で、 c=4 、f=7 より、 234+657=891

b≧4 とすると、e≧5 で、h≧10 となり、これは起こりえない。

 以上から、求める場合は、

 317+529=846 、 317+628=945 、 218+439=657 、

 216+738=954 、 218+349=567 、 215+748=963 、

 214+659=873 、 314+658=972 、 214+569=783 、

 216+378=594 、 215+478=693 、 128+439=567 、

 125+739=864 、 127+359=486 、 124+659=783 、

 324+657=981 、 127+368=495 、 324+567=891 、

 235+746=981 、 134+658=792 、 234+657=891


の21通りである。


 FNさんからの問題「和を4桁にして、0から9を入れるとしたときの解を求めよ。」を攻略法
さんが求められた。(平成22年11月16日付け)

 A+Bで、A<B とする。また、和の千の位は、「1」と確定する。

検索結果は下表の通りである。

1: 342+756=1098
2: 352+746=1098
3: 432+657=1089
4: 452+637=1089
5: 423+675=1098
6: 473+625=1098
7: 743+859=1602
8: 753+849=1602
9: 473+589=1062
10: 483+579=1062
11: 324+765=1089
12: 364+725=1089
13: 624+879=1503
14: 264+789=1053
15: 674+829=1503
16: 284+769=1053
  17: 425+673=1098
18: 475+623=1098
19: 325+764=1089
20: 365+724=1089
21: 346+752=1098
22: 356+742=1098
23: 426+879=1305
24: 246+789=1035
25: 476+829=1305
26: 286+749=1035
27: 437+652=1089
28: 457+632=1089
29: 437+589=1026
30: 347+859=1206
31: 357+849=1206
32: 487+539=1026
33: 749+853=1602
34: 759+843=1602
35: 479+583=1062
36: 489+573=1062
37: 629+874=1503
38: 269+784=1053
39: 679+824=1503
40: 289+764=1053
41: 429+876=1305
42: 249+786=1035
43: 479+826=1305
44: 289+746=1035
45: 439+587=1026
46: 349+857=1206
47: 359+847=1206
48: 489+537=1026

 上表において、1089、1035、1026 の3種類が、16通りずつで、計 48通りある。


 FNさんからのコメントです。(平成22年11月16日付け)

 ちょっと調べていたら、もとの問題と変わらない程度にたくさんありそうに思えて「和を4桁
にして0から9を入れるとしてもかなり解がありそうです。」と書いたのですが、もう少し調べ
るとそれほど多くなさそうに思えてきていました。きちんと調べていただいて有難うございま
す。

 すべてを数えても、96通りですから、元の問題の336通りに比べて、かなり少ないですね。
一、十、百の各位について、1行目と2行目の大小を決めておいたならば、96÷8=12通り
ですから、コンピュータを使わなくてもできそうです。


   □□□ 
 +□□□
−−−−− 
 □□□□ 

  左の□に、0から9までの整数を、1つずつ入れて計算が成り立つようにし
 てください。すべての位で、1行目が2行目より小さいという条件のもとですべ
 て求めてください。

 これなら紙と鉛筆で解ける問題と言えそうです。

 FNさんが「これなら紙と鉛筆で解ける問題と言えそうです。」ということなので、実際に計算
してみた。

abc+def=1ghi において、g、h、i の何れかが0で、他は2以上9以下の自然数

繰り上がりが1回のみのとき

 g<a<d 、 a+d=g+10 、b<e<h=b+e 、 c<f<i=c+f と仮定する。

g=0 のとき、 a+d=10 で、( a , d )=( 2 , 8 )、( 3 , 7 )、( 4 , 6 )

 ( a , d )=(2 , 8 )とする。

 b=3 のとき、 ( e , h )=( 4 , 7 )、( 6 , 9 ) 何れも解なし

 b=4 のとき、 ( e , h )=( 5 , 9 ) 解なし

 ( a , d )=(3 , 7 )とする。

 b=2 のとき、 ( e , h )=( 4 , 6 )、( 6 , 8 )

   ( e , h )=( 4 , 6 )のとき、 解なし

   ( e , h )=( 6 , 8 )のとき、 ( c , f , i )=(4 , 5 ,9 )

    このとき、 324+765=1089

 b=4 のとき、 ( e , h )=( 5 , 9 )

   ( e , h )=( 5 , 9 )のとき、 ( c , f , i )=(2 , 6 ,8 )

    このとき、 342+756=1098

 ( a , d )=(4 , 6 )とする。

 b=2 のとき、 ( e , h )=( 3 , 5 )、( 5 , 7 )、(7 , 9 )

   ( e , h )=( 3 , 5 )、( 5 , 7 )のとき、 解なし

   ( e , h )=( 7 , 9 )のとき、 ( c , f , i )=(3 , 5 ,8 )

    このとき、 423+675=1098

 b=3 のとき、 ( e , h )=( 5 , 8 ) で、( c , f , i )=(2 , 7 ,9 )

    このとき、 432+657=1089

繰り上がりが2回(百の位と十の位)のみのとき

 g<a<d 、a+d=g+9 、h<b<e 、b+e=h+10 、c<f<i=c+f と仮定する。

g=0 のとき、 a+d=9 で、( a , d )=( 2 , 7 )、( 3 , 6 )、( 4 , 5 )

 ( a , d )=(2 , 7 )とする。

 b=4 のとき、 ( e , h )=( 9 , 3 ) 解なし

 b=5 のとき、 ( e , h )=( 8 , 3 )、( 9 , 4 ) 何れも解なし

 b=6 のとき、 ( e , h )=( 8 , 4 )、( 9 , 5 ) 何れも解なし

 ( a , d )=(3 , 6 )とする。

 b=4 のとき、 ( e , h )=( 8 , 2 ) 解なし

 b=5 のとき、 ( e , h )=( 7 , 2 )、( 9 , 4 ) 何れも解なし

 b=7 のとき、 ( e , h )=( 8 , 5 ) 解なし

 ( a , d )=(4 , 5 )とする。

 b=3 のとき、 ( e , h )=( 9 , 2 ) 解なし

 b=6 のとき、 ( e , h )=( 7 , 3 ) 解なし

 b=7 のとき、 ( e , h )=( 9 , 6 ) 解なし

h=0 のとき、 b+e=10 で、( b , e )=( 2 , 8 )、( 3 , 7 )、( 4 , 6 )

 ( b , e )=(2 , 8 )とする。

 g=3 とするとき、 ( a , d )=( 5 , 7 ) 解なし

 g=4 とするとき、 ( a , d )=( 6 , 7 ) 解なし

 ( b , e )=(3 , 7 )とする。

 g=2 とするとき、 ( a , d )=( 5 , 6 ) 解なし

 g=4 とするとき、 ( a , d )=( 5 , 8 ) 解なし

 g=5 とするとき、 ( a , d )=( 6 , 8 ) 解なし

 ( b , e )=(4 , 6 )とする。

 g=2 とするとき、 ( a , d )=( 3 , 8 ) 解なし

 g=3 とするとき、 ( a , d )=( 5 , 7 ) 解なし

繰り上がりが2回(百の位と一の位)のみのとき

 g<a<d 、a+d=g+10 、b<e<h 、b+e−1=h 、i<c<f 、c+f=i+10 と仮

定する。

g=0 のとき、 a+d=10 で、( a , d )=( 2 , 8 )、( 3 , 7 )、( 4 , 6 )

 ( a , d )=(2 , 8 )とする。

 b=3 のとき、 ( e , h )=( 4 , 6 )、( 5 , 7 )、( 7 , 9 ) 何れも解なし

 b=4 のとき、 ( e , h )=( 6 , 9 ) 解なし

 ( a , d )=(3 , 7 )とする。

 b=2 のとき、 ( e , h )=( 4 , 5 )、( 5 , 6 )、( 8 , 9 ) 何れも解なし

 b=4 のとき、 ( e , h )=( 5 , 8 )、( 6 , 9 ) 何れも解なし

 ( a , d )=(4 , 6 )とする。

 b=2 のとき、 ( e , h )=( 7 , 8 )、( 8 , 9 ) 何れも解なし

 b=3 のとき、 ( e , h )=( 5 , 7 )、( 7 , 9 ) 何れも解なし

i=0 のとき、 c+f=10 で、( c , f )=( 2 , 8 )、( 3 , 7 )、( 4 , 6 )

 ( c , f )=(2 , 8 )とする。

 g=3 とするとき、 ( a , d )=( 4 , 9 ) 解なし

 g=4 とするとき、 ( a , d )=( 5 , 9 ) 解なし

 g=5 とするとき、 ( a , d )=( 6 , 9 ) 解なし

 g=6 とするとき、 ( a , d )=( 7 , 9 ) 解なし

 ( c , f )=(3 , 7 )とする。

 g=2 とするとき、 ( a , d )=( 4 , 8 ) 解なし

 g=4 とするとき、 ( a , d )=( 5 , 9 )、( 6 , 8 ) 何れも解なし

 g=5 とするとき、 ( a , d )=( 6 , 9 ) 解なし

 ( c , f )=(4 , 6 )とする。

 g=2 とするとき、 ( a , d )=( 5 , 7 ) 解なし

 g=3 とするとき、 ( a , d )=( 4 , 9 )、( 5 , 8 ) 何れも解なし

 g=5 とするとき、 ( a , d )=( 7 , 8 ) 解なし

 g=7 とするとき、 ( a , d )=( 8 , 9 ) 解なし

次に、繰り上がりが3回のときを考える。

 g<a<d 、a+d=g+9 、h<b<e 、b+e=h+9 、i<c<f 、c+f=i+10 と仮

定する。

g=0 のとき、 a+d=9 で、( a , d )=( 2 , 7 )、( 3 , 6 )、( 4 , 5 )

 ( a , d )=(2 , 7 )とする。

 i=3 のとき、 ( c , f )=( 4 , 9 )、( 5 , 8 )

   ( c , f )=( 4 , 9 )のとき、 ( b , e , h )=(6 , 8 ,5 )

    このとき、 264+789=1053

   ( c , f )=( 5 , 8 )のとき、 解なし

 i=4 のとき、 ( c , f )=( 5 , 9 )、( 6 , 8 ) 何れも解なし

 i=5 のとき、 ( c , f )=( 6 , 9 ) で、 ( b , e , h )=(4 , 8 ,3 )

    このとき、 246+789=1035

 ( a , d )=(3 , 6 )とする。

 i=2 のとき、 ( c , f )=( 4 , 8 )、( 5 , 7 ) 何れも解なし

 i=4 のとき、 ( c , f )=( 5 , 9 ) 解なし

 i=5 のとき、 ( c , f )=( 7 , 8 ) 解なし

 i=7 のとき、 ( c , f )=( 8 , 9 ) 解なし

 ( a , d )=(4 , 5 )とする。

 i=2 のとき、 ( c , f )=( 3 , 9 ) で、 ( b , e , h )=(7 , 8 ,6 )

    このとき、 473+589=1062

 i=3 のとき、 ( c , f )=( 6 , 7 ) 解なし

 i=6 のとき、 ( c , f )=( 7 , 9 ) で、 ( b , e , h )=(3 , 8 ,2 )

    このとき、 437+589=1026

 i=7 のとき、 ( c , f )=( 8 , 9 ) 解なし

h=0 のとき、 b+e=9 で、( b , e )=( 2 , 7 )、( 3 , 6 )、( 4 , 5 )

 ( b , e )=(2 , 7 )とする。

 g=3 のとき、 ( a , d )=( 4 , 8 ) で、 ( c , f , i )=(6 , 9 ,5 )

    このとき、 426+879=1305

 g=4 のとき、 ( a , d )=( 5 , 8 ) 解なし

 g=5 のとき、 ( a , d )=( 6 , 8 ) で、 ( c , f , i )=(4 , 9 ,3 )

    このとき、 624+879=1503

 ( b , e )=(3 , 6 )とする。

 g=2 のとき、 ( a , d )=( 4 , 7 ) 解なし

 g=4 のとき、 ( a , d )=( 5 , 8 ) 解なし

 ( b , e )=(4 , 5 )とする。

 g=2 のとき、 ( a , d )=( 3 , 8 ) で、 ( c , f , i )=(7 , 9 ,6 )

    このとき、 347+859=1206

 g=6 のとき、 ( a , d )=( 7 , 8 ) で、 ( c , f , i )=(3 , 9 ,2 )

    このとき、 743+859=1602

i=0 のとき、 ( c , f )=( 2 , 8 )、( 3 , 7 )、( 4 , 6 )

 ( c , f )=(2 , 8 )とする。

 g=3 のとき、 ( a , d )=( 5 , 7 ) 解なし

 g=4 のとき、 ( a , d )=( 6 , 7 ) 解なし

 ( c , f )=(3 , 7 )とする。

 g=2 のとき、 ( a , d )=( 5 , 6 ) 解なし

 g=4 のとき、 ( a , d )=( 5 , 8 ) 解なし

 g=5 のとき、 ( a , d )=( 6 , 8 ) 解なし

 ( c , f )=(4 , 6 )とする。

 g=2 のとき、 ( a , d )=( 3 , 8 ) 解なし

 g=3 のとき、 ( a , d )=( 5 , 7 ) 解なし

(コメント) 数え漏れがあったので訂正しました...f(^_^;)

 上記で探索した解をベースにして、攻略法さんの解を分類してみた。

324+765=1089
11: 324+765=1089
12: 364+725=1089
19: 325+764=1089
20: 365+724=1089
342+756=1098
1: 342+756=1098
2: 352+746=1098
21: 346+752=1098
22: 356+742=1098
423+675=1098
5: 423+675=1098
6: 473+625=1098
17: 425+673=1098
18: 475+623=1098
432+657=1089
3: 432+657=1089
4: 452+637=1089

27: 437+652=1089
28: 457+632=1089
  264+789=1053
14: 264+789=1053
16: 284+769=1053
38: 269+784=1053
40: 289+764=1053
246+789=1035
24: 246+789=1035
26: 286+749=1035
42: 249+786=1035
44: 289+746=1035
473+589=1062
9: 473+589=1062
10: 483+579=1062
35: 479+583=1062
36: 489+573=1062
437+589=1026
29: 437+589=1026
32: 487+539=1026
45: 439+587=1026
48: 489+537=1026
426+879=1305
23: 426+879=1305
25: 476+829=1305
41: 429+876=1305
43: 479+826=1305
624+879=1503
13: 624+879=1503
15: 674+829=1503
37: 629+874=1503
39: 679+824=1503
347+859=1206
30: 347+859=1206
31: 357+849=1206
46: 349+857=1206
47: 359+847=1206
743+859=1602
7: 743+859=1602
8: 753+849=1602
33: 749+853=1602
34: 759+843=1602




   以下工事中