当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２４年１月１９日付け）
某数学塾の訪問者Hは、数字をみると特定の数字にある穴を塗りつぶす癖がある。
今、「4」、「6」、「9」、「0」 は1つ、「8」 は２つ穴があるものとする。
訪問者Hは、「1」、「2」、「3」、・・・、「10000」 までにある穴を全て塗りつぶした。
このとき、訪問者Hは何個の穴を塗りつぶしたか。
（答） ちなみに、自分の答えは、22893個。
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年１月１９日付け）
1000×(1+1+1+1+2)×4-999-99-9=22893個ですね。
らすかるさんによる解説です。（平成２４年１月２０日付け）
まず 1〜999は0を補ってすべて4桁にして10000は0000にすると、
0000、0001、0002、・・・、9999
となりますが、これは、各桁に、「0」、「１」、・・・、「9」が1000回ずつ出てきますから
1000×(1+1+1+1+2)×4個の穴があります。そして、補った余計な「0」は、
1000の位：0001〜0999 の 999個
100の位：0001〜0099 の 99個
10の位：0001〜0009 の 9個
なので、
1000×(1+1+1+1+2)×4-999-99-9
という式になります。少し一般的にして、1から10nまでの穴の数を計算してみると、
6n・10n-1-(10n-1)/9+ｎ = {(3・10n+5)(27n-5)+40}/135 個
になりますね。
（右辺はnが出てくる回数を極力減らして簡潔にした式です。）
（コメント） 穴の数に注目すると、10000と0000は同じなので、0000〜9999とした方が数えや
すいですね！らすかるさんに感謝します。
よおすけさんからのコメントです。（平成２４年１月１９日付け）
僕は、例えば、10〜19では0、4、6、9に各1個、8は2個だから合計6個などと地道にやって、
最終的に、 1〜9：5個、10〜99：104個、100〜999：1580個、1000〜9999：21200個
10000：4個 の合計22893個と出しました。
らすかるさんの解答をみていたら、簡単に計算でできていたので、今まで数え漏れのない
ように何回も計算し直していた自分は何だったのだろう…って。