観点別評価　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　最近の中学・高校では、旧来の評価方法を見直し、評価の観点の分類を行って、それら
について、まず評価し、それらを総合して、教科の評定とする観点別評価が導入されつつ
ある。

　小学校では、以前より、このような観点別の評価がなされていた。私自身の小学校時代
の通知票を思い返してみると、「読み書きができる」とか、「内容をよく理解している」とか、
国語という教科がいくつかに細分化され、そこに、○とか◎などがゴム印で押されていたよ
うに思う。

　数学では、４つの観点について、まず評価することになる。

　関心・意欲・態度　　数学的な見方や考え方　　表現・処理　　知識・理解

　「表現・処理」や「知識・理解」は、旧来のテスト問題とリンクすると思うが、「数学的な見
方や考え方」や「関心・意欲・態度」なども、それに対応したテスト問題を作ることになって
いる。

　すぐ結果が返ってくる「表現・処理」や「知識・理解」は評価できるにしても、短い試験時
間で、「数学的な見方や考え方」や「関心・意欲・態度」は、テスト問題として測定可能な
のだろうか、ちょっと疑問である。

　４つの観点を、テスト問題としてどのようにとらえていくか、今一番頭の痛いところである。

　そこで、問題である。

　４つの観点ごとに１題ずつ問題を作り、合計１００点満点の試験を作りたい。ただ、事務

作業の軽減を考えて、点数を見ると、どの観点が○で、どの観点が×かを、個々の問題

を調べることなく、分かるようにしたい。

　どのような配点にしたらよいだろうか？　ただし、配点はすべて５の倍数で、何れも１０

点以上あるものとする。



























（答）　１０点、１５点、２０点、５５点　の配点とすれば、如何なる組み合わせに対しても、
　　　それらの合計点数は相異なる。（ちょっと、これは現実的ではないですね？）

（求め方）　４ 題の配点を、Ｘ、Ｙ、Ｚ、Ｗ ( Ｘ＜Ｙ＜Ｚ＜Ｗ ）とすると、
　　　　　Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＋Ｗ＝１００　であることから、　１０ ≦ Ｘ ＜ ２５ でなければならない。
　　　　Ｘ は、５ の倍数なので、Ｘ の可能性は、　１０、１５、２０　の場合しかない。
　　　　そこで、表を作って、しらみつぶしに求めると、

　　　であるから、求める場合は上記のただ一つである。

　　たとえば、８０点だった場合、直ちに、Ｘ、Ｙ、Ｗ が○で、Ｚが×であることが知られる。

　上記の問題では、５の倍数という条件が入っていたが、これを撤廃して、

　　　１０題の問題の合計点数は、１００点満点で、如何なる組み合わせに対しても、それ

　　らの合計点数は相異なるようにしたい。各問題の配点は、自然数とするとき、果たして、

　　このようなテスト問題を作ることは可能であろうか？

　これについては、読者の方に解決を委ねよう。（→　解答は、こちらまで）


　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんが、この問題を整理された。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２２年８月３日付け）

　冒頭の問題を、５で割った形で書き直せば次のようになる。

　４つの自然数 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ ( Ａ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄ ） で次の条件を満たすものを求めよ。

（１）　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝２０
（２）　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ から何個かを取りだして和を作ればすべて異なる。
（３）　Ａ≧２

　※（３）は問題を簡単にし解を一意的にするためのものだから、これはなしにしてこの問題
　　を解いてください。


　この問題について、ＨＮ「攻略法」さんが考察された。（平成２２年８月５日付け）

　（１）を満たす並びをすべて列挙して、（２）を満たすかどうか確認する。

No. 1　(1 2 3 14)　・・・　1+2=3　より、題意を満たさない。
No. 2　(1 2 4 13)　・・・　題意を満たす。（*）
No. 3　(1 2 5 12)　・・・　題意を満たす。（**）
No. 4　(1 2 6 11)　・・・　題意を満たす。
No. 5　(1 2 7 10)　・・・　1+2+7=10　より、題意を満たさない。
No. 6　(1 2 8 9)　・・・　1+8=9、1+9=2+8　より、題意を満たさない。
No. 7　(1 3 4 12)　・・・　1+3=4　より、題意を満たさない。
No. 8　(1 3 5 11)　・・・　題意を満たす。
No. 9　(1 3 6 10)　・・・　1+3+6=10　より、題意を満たさない。
No. 10　(1 3 7 9)　・・・　1+9=3+7　より、題意を満たさない。
No. 11　(1 4 5 10)　・・・　1+4=5、1+4+5=10　より、題意を満たさない。
No. 12　(1 4 6 9)　・・・　1+9=4+6　より、題意を満たさない。
No. 13　(1 4 7 8)　・・・　1+7=8　より、題意を満たさない。
No. 14　(1 5 6 8)　・・・　1+5=6　より、題意を満たさない。
No. 15　(2 3 4 11)　・・・　題意を満たす。
No. 16　(2 3 5 10)　・・・　2+3=5、2+3+5=10　より、題意を満たさない。
No. 17　(2 3 6 9)　・・・　3+6=9　より、題意を満たさない。
No. 18　(2 3 7 8)　・・・　2+8=3+7　より、題意を満たさない。
No. 19　(2 4 5 9)　・・・　4+5=9　より、題意を満たさない。
No. 20　(2 4 6 8)　・・・　2+4=6、2+8=4+6　より、題意を満たさない。
No. 21　(2 5 6 7)　・・・　2+5=7　より、題意を満たさない。
No. 22　(3 4 5 8)　・・・　3+5=8　より、題意を満たさない。
No. 23　(3 4 6 7)　・・・　3+4=7、3+7=4+6　より、題意を満たさない。

　以上から、求める場合の数は、

　　　(1 2 4 13)　、(1 2 5 12)　、(1 2 6 11)　、(1 3 5 11)　、(2 3 4 11)

の５通りである。


　また、冒頭の問題の後半の問題も書きなおせば次のようになる。

　１０個の自然数があり、その和は１００である。その１０個の中から何個かを取りだし
て作った和が全て異なるようなものは存在するか。

　しかし、１０個はあまりにも多すぎて明らかに無理です。１０００点満点でもできません。１０
個を減らしてこれが可能な数の中で最大の個数に変えてください。そして、そのとき、条件を
満たす自然数の組の個数を求めてください。


　このＦＮさんの問いかけに対して、攻略法さんが考察された。（平成２２年８月５日付け）

　１＋２＋４＋・・・＋２^n-1＋Ｍ_ｎ＝Ｓ　とすると、

Ｍ_ｎ＝Ｓ−(２^ｎ−１)≧２^ｎ　のとき、すなわち、　Ｓ≧２^ｎ+1−１　なら、解がある。

・１個の場合・・・(100)
・２個の場合・・・(1,*) で、２番目は、100-1=99≧2　　∴解の１つが(1,99)である。
・３個の場合・・・(1,2,*) で、３番目は、100-(1+2)=97≧4　　∴(1,2,97)
・４個の場合・・・(1,2,4,*) で、４番目は、100-(1+2+4)=93≧8　　∴(1,2,4,93)
・５個の場合・・・(1,2,4,8,*) で、５番目は、100-(1+2+4+8)=85≧16　　∴(1,2,4,8,85)
・６個の場合・・・(1,2,4,8,16,*) で、６番目は、100-(1+2+4+8+16)=69≧32　∴(1,2,4,8,16,69)
・７個の場合・・・(1,2,4,8,16,32,*) で、７番目は、100-(1+2+4+8+16+32)=37＜64　より解なし
・８個以上の場合は、100を超えるから、解なし

　また条件を満たす自然数の組の個数は、

　１個の場合　１通り　・・・　(100)
　２個の場合　49通り ・・・ (1,99)、 (2,98)、・・・、(49,51)
　３個の場合　760通り
　４個の場合　4974通り
　５個の場合　10571通り
　６個の場合　1156通り

●並びの生成
（*）の並びの場合
　辞書式順序の最小のものを求めようとすれば、単純に、１番目は1、２番目は2、３番目は
3となるが、1+2=3　より、3はNG。したがって、4。　∴　(1,2,4)

　４番目は、5となるが、1+4=5　より、NG。6も、2+4。7も1+2+3=7　より、NG。したがって、8。
∴(1,2,4,8)

　このように、順に数字を追加していくと、「２のべき乗」列が現れていく。

　数学的な背景で言うと．．．

　２のべき乗の並び（１、２、４、８、１６、３２、・・・）について（「２進法」と「組合せ」との関係）
　・「ｎ個の問題の正解、不正解」を、ｎ個のビット列　{ｂ₁ ｂ₂ ｂ₃ ・・・ｂ_n}
　・「合計点」を、２進法表記 ｘ＝ｂ₁・１＋ｂ₂・２＋ｂ₃・４＋ ・・・＋ｂ_n・２^ｎ-1　と対応させること
　で、ｘ は連続する非負整数を重複することなく表すことができるので、『何個かを取りだして
　和を作ればすべて異なる』を満たす。

　したがって、４番目の数を８とした並び(1,2,4,8)は、和を１５とした最小の並びを与える。

　また、４番目の13は、前３つが決まれば自ずと決まり、８以上なので置き換えてもよい。
　これは、『Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝２０』を満たす。

（**）のような並びの場合、「連続しなくてよい」とした場合になる。上記のようなべき乗の並び
でなくてもよい。その並びや数は不明。

（コメント）　ＦＮさん、攻略法さん、ありがとうございます。点数を見れば、どの観点かが分か
　　　　　　るというのはある意味邪道ですが、そうであったらいいな〜という思いで問題を作
　　　　　　りました。

　３個の場合　760通り というのが気になったので計算してみました。

(1,2,97)、(1,3,96)、・・・、(1,48,51)
(2,3,95)、(2,4,94)、・・・、(2,47,51)
(3,4,93)、(3,5,92)、・・・、(3,46,51)、(3,48,49)
(4,5,91)、(4,6,90)、・・・、(4,45,51)、(4,47,49)
(5,6,89)、(5,7,88)、・・・、(5,44,51)、(5,46,49)、(5,47,48)
(6,7,87)、(6,8,86)、・・・、(6,43,51)、(6,45,49)、(6,46,48)
(7,8,85)、(7,9,84)、・・・、(7,42,51)、(7,44,49)、(7,45,48)、(7,46,47)
(8,9,83)、(8,10,82)、・・・、(8,41,51)、(8,43,49)、(8,44,48)、(8,45,47)
(9,10,81)、(9,11,80)、・・・、(9,40,51)、(9,42,49)、(9,43,48)、(9,44,47)、(9,45,46)
(10,11,79)、(10,12,78)、・・・、(10,39,51)、(10,41,49)、(10,42,48)、・・・、(10,44,46)
(11,12,77)、(11,13,76)、・・・、(11,38,51)、(11,40,49)、(11,41,48)、・・・、(11,44,45)
(12,13,75)、(12,14,74)、・・・、(12,37,51)、(12,39,49)、(12,40,48)、・・・、(12,43,45)
(13,14,73)、(13,15,72)、・・・、(13,36,51)、(13,38,49)、(13,39,48)、・・・、(13,43,44)
(14,15,71)、(14,16,70)、・・・、(14,35,51)、(14,37,49)、(14,38,48)、・・・、(14,42,44)
(15,16,69)、(15,17,68)、・・・、(15,34,51)、(15,36,49)、(15,37,48)、・・・、(15,42,43)
(16,17,67)、(16,18,66)、・・・、(16,33,51)、(16,35,49)、(16,36,48)、・・・、(16,41,43)
(17,18,65)、(17,19,64)、・・・、(17,32,51)、(17,34,49)、(17,35,48)、・・・、(17,41,42)
(18,19,63)、(18,20,62)、・・・、(18,31,51)、(18,33,49)、(18,34,48)、・・・、(18,40,42)
(19,20,61)、(19,21,60)、・・・、(19,30,51)、(19,32,49)、(19,33,48)、・・・、(19,40,41)
(20,21,59)、(20,22,58)、・・・、(20,29,51)、(20,31,49)、(20,32,48)、・・・、(20,39,41)
(21,22,57)、(21,23,56)、・・・、(21,28,51)、(21,30,49)、(21,31,48)、・・・、(21,39,40)
(22,23,55)、(22,24,54)、・・・、(22,27,51)、(22,29,49)、(22,30,48)、・・・、(22,38,40)
(23,24,53)、(23,25,52)、(23,26,51)、(23,28,49)、(23,29,48)、・・・、(23,38,39)
(24,25,51)、(24,27,49)、(24,30,48)、・・・、(24,37,39)
(25,26,49)、(25,27,48)、・・・、(25,37,38)
(26,27,47)、(26,28,46)、・・・、(26,36,38)
(27,28,45)、(27,29,44)、・・・、(27,36,37)
(28,29,43)、(28,30,42)、・・・、(28,35,37)
(29,30,41)、(29,31,40)、・・・、(29,35,36)
(30,31,39)、(30,32,38)、・・・、(30,34,36)
(31,32,37)、(31,33,36)、(31,34,35)
(32,33,35)

　以上から、

　｛47+45+・・・+3+1｝＋｛1+1+2+2+・・・+11+11｝＋｛12+10+9+7+6+4+3+1｝

＝24（47+1）/2＋2・11（1+11）/2＋52＝760

　よって、３個の場合は確かに、７６０通りあることが示された。



　　　以下、工事中