当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２５年１月２０日付け）
伸るか反るか（１）？
６個のサイコロを振るとき、現れる目の種類は１種のときもあれば、６種すべてが出るこ
ともある。胴元から、出た目の種類がちょうど４種であるときは、あなたの勝ちとし掛け金
の２倍を払い戻し、またそれ以外は負けとなり掛け金はすべて没収されるというルールを
提案された。
さて、あなたはひと勝負掛け金１万円で挑戦するか、尻込みするか？
伸るか反るか（２）？
1から６のうちのどれか一つの数字に賭ける。それから３つのサイコロを同時に振る。そ
のとき、賭けた数字の目が一つも出なかったら、賭けた掛金は取られてしまう。一つだけ
出れば、掛金は戻り、さらに掛金分の金額がもらえる。二つ出れば、上と同じで、さらに掛
金の２倍がもらえる。三つ出れば、掛金の３倍もらえる。
さて、あなたはひと勝負掛け金１万円で挑戦するか、尻込みするか？
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２５年１月２０日付け）
(1) 出目がちょうど4種類になる確率は、
{6Ｃ3+(6Ｃ2・4Ｃ2)/2}・6Ｐ4/６6=0.501543…
なので、挑戦します。
(2) 一つも出ない確率は、５3/６3なので掛け金が戻る期待値は、1-５3/６3
追加分の期待値は、一つあたりの期待値は1/6なので三つで、3/6=1/2
よって、全体の期待値は、 1-５3/６3+1/2=0.921296… なので、尻込みします。
（追記） 平成２５年１月２１日付け
上記の「伸るか反るか（１）？」と同趣旨の問題が平成２５年度の大学入試センター試験
の数学Ⅰ・Ａの【順列・組合せ・確率】分野の第４問で出題された。
今年の問題は、非常に易しかった昨年度の反動からか、とても現役の受験生を翻弄する
にたる難しさとなった。そんな中で唯一易しいと思われる問題であったが、その解き方が大
いに参考になる。
（１） １から４までの数字を、重複を許して並べてできる４桁の自然数は全部で何個あるか。
（答え：４4＝２５６個）
（２） １から４までの数字を、重複なく並べてできる４桁の自然数は全部で何個あるか。
（答え：４！＝２４個）
（３） １３３１のように、異なる二つの数字を２回ずつ使って並べてできる４桁の自然数の個
数を、次の考え方に従って求める。
（イ） １から４までの数字から異なる二つを選ぶ選び方は何通りか。
（答え：4Ｃ2＝６通り）
（ロ） （イ）で選んだ数字のうち小さい方を、一、十、百、千の位のうち、どの２箇所に置く
かを決める。その決め方は何通りか。
（答え：4Ｃ2＝６通り）
（ハ） （イ）（ロ）より、求める個数は何個であるか。
（答え：６×６＝３６個）
（４）は省略
この入試センター試験での解法を用いて、らすかるさんが与えた式とは違う形で結論を導
いた。計算のポイントは、
（数字４種類の選び方）×（同じものを含む順列）×（同種類の数字のパターン）
（6Ｃ4・６！/３！・4Ｃ1＋6Ｃ4・６！/２！２！・4Ｃ2）/６6
＝（７２００＋１６２００）/４６６５６＝３２５/６４８＝０．５０１５４３２０９・・・
これは、らすかるさんの結果と一致する。
（追記） 平成２５年３月３日付け
上記の「伸るか反るか（１）？」と同じ設定の問題が平成２５年度の東京工業大学 前期
試験で出題された。
６個のさいころを同時に投げるとき、ちょうど４種類の目が出る確率を既約分数で表せ。
もちろん解答は、上記と同じで、
（6Ｃ4・６！/３！・4Ｃ1＋6Ｃ4・６！/２！２！・4Ｃ2）/６6＝３２５/６４８
により求められる。これに対して、ある予備校の解答では、
（6Ｃ3・６・5Ｐ3＋6Ｃ2・6Ｃ2・4Ｃ2・4Ｐ2）/６6＝３２５/６４８
となっていた。何か難しく考えているような．．．そんな雰囲気！
それにしても、今年のセンター試験といい、東工大の問題といい、大学の先生は、この手
の問題が好きなんですね。確かに、確率の問題としては、組合せの考えや同じものを含む
順列の考え、そして和の法則などが確かめられる手頃な良問とは言えますが．．．。