単位分数の構成                            戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんからの出題です。
                                      (平成25年2月19日付け)

 1/3=(1/2)2+(1/4)2+(1/8)2+(1/24)2+(1/28)2+(1/30)2+(1/40)2+(1/56)2+(1/84)2

と100以下の数xで、(1/x)2の有限和で(同じものを繰り返さない。)1/3が構成できる。

 そこで同じ趣旨で、今度は1/2を構成してほしい。



































(答)  らすかるさんが考察されました。(平成25年2月19日付け)

 完全に力技ですが、1/2になるのは全部で19860通り

最大分母が最も小さいのは、

1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+1/7^2+1/12^2+1/15^2+1/20^2+1/28^2+1/35^2

項数が最も少ないのは10項で以下の3通り

1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+1/7^2+1/12^2+1/15^2+1/20^2+1/28^2+1/35^2
1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+1/6^2+1/12^2+1/36^2+1/45^2+1/60^2+1/90^2
1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+1/6^2+1/12^2+1/30^2+1/60^2+1/75^2+1/100^2

項数が最も多いのは38項で以下の3通り

1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/6^2+1/9^2+1/10^2+1/11^2+1/12^2+1/13^2+1/14^2
 +1/15^2+1/18^2+1/20^2+1/24^2+1/26^2+1/28^2+1/30^2+1/35^2+1/38^2
  +1/39^2+1/40^2+1/42^2+1/45^2+1/52^2+1/55^2+1/56^2+1/57^2+1/63^2
   +1/65^2+1/70^2+1/75^2+1/77^2+1/88^2+1/90^2+1/91^2+1/95^2+1/99^2+1/100^2

1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/6^2+1/9^2+1/10^2+1/11^2+1/12^2+1/13^2+1/14^2
 +1/15^2+1/18^2+1/20^2+1/24^2+1/26^2+1/28^2+1/30^2+1/35^2+1/36^2
  +1/38^2+1/39^2+1/42^2+1/52^2+1/55^2+1/56^2+1/57^2+1/60^2+1/63^2
   +1/65^2+1/70^2+1/72^2+1/75^2+1/77^2+1/88^2+1/91^2+1/95^2+1/99^2+1/100^2

1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/6^2+1/9^2+1/10^2+1/11^2+1/12^2+1/13^2+1/14^2
 +1/15^2+1/18^2+1/20^2+1/21^2+1/26^2+1/28^2+1/30^2+1/38^2+1/39^2
  +1/40^2+1/42^2+1/45^2+1/52^2+1/55^2+1/56^2+1/57^2+1/60^2+1/63^2
   +1/65^2+1/72^2+1/75^2+1/77^2+1/84^2+1/88^2+1/91^2+1/95^2+1/99^2+1/100^2

 ちなみに、1/3はもっと簡単に

  1/3 = 1/2^2+1/5^2+1/6^2+1/10^2+1/15^2+1/30^2

と出来ます。


 GAI さんからのコメントです。(平成25年2月19日付け)

 天文学的組合せの中から、こんな短時間にこれだけの結果を出せることに驚愕します。
その驚くべき技で果たして1/2,1/3,1/4,1/5,・・・,1/10の分数を構成していけるものかを
調査していただけませんか?(最小のものの具体例が知りたいです...。)


 らすかるさんからのコメントです。(平成25年2月20日付け)

 (最大分母が)最小のものは以下の通りです。

1/2 = 1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+1/7^2+1/12^2+1/15^2+1/20^2+1/28^2+1/35^2
1/3 = 1/2^2+1/5^2+1/6^2+1/10^2+1/15^2+1/30^2
1/4 = 1/2^2
1/5 = 1/3^2+1/4^2+1/10^2+1/12^2+1/14^2+1/20^2+1/28^2+1/42^2
1/6 = 1/3^2+1/6^2+1/7^2+1/14^2+1/21^2
1/7 = 1/3^2+1/8^2+1/12^2+1/18^2+1/24^2+1/28^2+1/30^2+1/36^2+1/40^2+1/56^2+1/63^2
1/8 = 1/3^2+1/12^2+1/15^2+1/20^2
1/9 = 1/3^2
1/10 = 1/5^2+1/6^2+1/7^2+1/14^2+1/15^2+1/21^2

 以前、一時期以下の問題の研究に凝ったことがありまして、その時の処理方法を思い出
しながらプログラムを作りました。

 分母がn以下の相異なる単位分数の和が1になる組合せ数(→ 参考:A092670

 n=610まで求め、n=610 のとき、

    19616054506970211779143546450978963192641671795011
                           876452737741398885323655738946000 通り

分母がn以下の単位分数(重複を許す)の和が1になる組合せ数(→ 参考:A020473

 n=390まで求め、n=390 のとき、

    17387727202788558317707911311495675428559612253979
              6647742276766984317028452608801994454131958617566 通り

 その時に作ったプログラムのように本格的に作れば、今回の問題もn≦100程度なら一瞬
で出ますが、本格的に作るのは大変なので、今回は簡易的なプログラムで済ませ、それぞ
れ数秒〜数十秒かかりました。

 ちなみに今回の簡易的なプログラムでは1/10までは計算できますが、1/11以降には対応
していませんのでこの先はご勘弁を。


 GAI さんからのコメントです。(平成25年2月20日付け)

 紹介されたサイト(数列大辞典)の項目を拝見して、このテーマの原点にあたるエジプト分
数でのいろいろな調査を知ることができました。

 特に、A092670、A092666、A020473、A092669、A006585などの数表が面白かったです。

 そのあちこちに、らすかるさんのすさまじく深い部分までの探索がなされていることに感銘
いたしました。分数は小学校以来なにか取り扱い難い印象しかなかった私に、こうも深い性
質を秘めているかの感動を与えてくれました。この背景にやはり素数や約数、倍数といった
基本的性質が縦糸や横糸となり壮大なタペストリーが織りなされている様を見る思いでした。

 ガウスではありませんが、数論は数学の中の女王との印象を強く持ちます。それにつけて
も、オイラーやガウスがもし現代に生きていたらこのコンピュータの道具を使って、どんな秘
密を解き明かして行くのか見てみたいな〜。また新たな世界を垣間見らせてもらいありがと
うございました。