分数×分数=分数+分数
当HPがいつもお世話になっているHN「攻略法」さんからの出題です。
(平成24年11月23日付け)
1≦a,c、2≦b,d として、 a/b * c/d = a/b + c/d を満たすa、b、c、dを求めよ。
ただし、a/b と c/d は既約分数。
例 (5/2) * (5/3) = (5/3) + (5/2)
(答) (a,b,c,d)=(5,2,5,3)、(7,2,7,5)、(7,3,7,4)、(8,3,8,5)、(9,2,9,7)、
(9,4,9,5)、(10,3,10,7) など
(コメント) xy=x+y より、 (x−1)(y−1)=1 なので、 x−1=m/n とおけば、
y−1=n/m すなわち、 x=(m+n)/n 、y=(m+n)/m
あとは、(m+n)/n 、(m+n)/m が既約分数となるように互いに素な自然数 m、n
をとればよい。答は無数にある。