面積比の計算2                              戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                       (令和2年12月1日付け)

 △ABCの内部に点Pをとり、3AP=2PBPC ならしめるとき、△BPC、△CPA、△APB
の面積比を求めよ。(出典:福岡大学)







































(答) AP=(2AB+AC)/3・(1/2) から、点Pは、辺BCを1:2に内分する点Dと点Aを結
   ぶ線分の中点である。

  よって、△BDP=S とおくと、△APB=S、△CDP=2S、△CPA=2S なので、

  △BPC:△CPA:△APB=3S:2S:S=3:2:1  (終)


 GAIさんからのコメントです。(令和2年12月1日付け)

 条件より、 3PA+2PBPC から、力のつり合いより、3つのベクトルはお互い120°

のなす角度で点Pから3方向に同じ力で引かれている。

 それぞれのベクトルの係数からA,Bは引かれる力の1/3、1/2の地点に位置しているので、

 |PC|=R と置くと、

 △PAB=1/2*(R/3)*(R/2)*sin(120°)
 △PBC=1/2*(R/2)*R*sin(120°)
 △PCA=1/2*R*(R/3)*sin(120°)

これから、 △PBC:△PCA:△PAB=3:2:1


 moonlightさんからのコメントです。(令和2年12月1日付け)

 いつ出題されたものだろう。昔から定番の問題ですよね。