当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和２年１２月１日付け）
△ABCの内部に点Pをとり、３AP＝２PB＋PC ならしめるとき、△BPC、△CPA、△APB
の面積比を求めよ。（出典：福岡大学）
（答） ＡＰ＝（２ＡＢ＋ＡＣ）/３・（１/２） から、点Ｐは、辺ＢＣを１：２に内分する点Ｄと点Ａを結
ぶ線分の中点である。
よって、△ＢＤＰ＝Ｓ とおくと、△ＡＰＢ＝Ｓ、△ＣＤＰ＝２Ｓ、△ＣＰＡ＝２Ｓ なので、
△BPC：△CPA：△APB＝３Ｓ：２Ｓ：Ｓ＝３：２：１ （終）
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年１２月１日付け）
条件より、 ３PA＋２PB＋PC＝０ から、力のつり合いより、３つのベクトルはお互い120°
のなす角度で点Pから３方向に同じ力で引かれている。
それぞれのベクトルの係数からA,Bは引かれる力の1/3、1/2の地点に位置しているので、
|PC|=R と置くと、
△PAB=1/2*(R/3)*(R/2)*sin(120°）
△PBC=1/2*(R/2)*R*sin(120°)
△PCA=1/2*R*(R/3)*sin(120°)
これから、 △PBC：△PCA：△PAB＝３：２：１
ｍｏｏｎｌｉｇｈｔさんからのコメントです。（令和２年１２月１日付け）
いつ出題されたものだろう。昔から定番の問題ですよね。