当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「なつ」さんからの出題です。
（平成３１年２月２１日付け）
面白い(かもしれない)算数の問題を作ったので、暇なときに解いてみてください（笑）
今のところ２通りの解法があります。
AB＝ACの二等辺三角形ABCがある。内部に点Dをとり、
AD＝BC、∠ABD＝22.5°、∠DBC＝45°
とするとき、∠DACの大きさを求めよ。
（答） らすかるさんが考察されました。（平成３１年２月２１日付け）
とりあえず、最初に思いついた解法
条件から、∠ABC=67.5°なので、頂角は45°
正八角形の1辺と中心で作られる三角形は頂角45°の二等辺三角形なので、
中心をAとして、正八角形BCEFGHIJが描けて、このとき、点Dは対角線BF上にある。
JG上のJに近い側に、AK=BCとなるように点Kをとると、JG//BFから、
AD=AK=BC=JB=KD
となるので、△AKDは正三角形となり、∠ADF=30°とわかる。
よって、 ∠DAC=(180°-∠DBC-∠ACB)-∠ADF=37.5°
らすかるさんから別解をいただきました。（平成３１年２月２２日付け）
二つ目に思いついた解法
ABに関してCと反対側に、△EDA≡△ABCとなるように点Eをとる。
Eを中心として、A、Dを通る円を描くと、∠AED=2∠ABD なので、Bもその円周上にある。
よって、△AEBは正三角形なので、∠BAE=60°
従って、∠DAB=67.5°-60°=7.5°なので、∠DAC=45°-7.5°=37.5°
なつさんからのコメントです。（平成３１年２月２２日付け）
二つとも全く予期していなかった解法でびっくりしました（笑）そんなやり方があったとは…！
一応自分のやり方を簡単に書いておきます。
（１） 正八角形を書く方法
△ABCが内接するような正八角形APQCRBST(時計回りに)を書くと、△ADQが正三角形
になる。
② 等脚台形を使う方法
△ABCの内部に、△PBCが正三角形となるような点Pをとると、四角形ABDPが等脚台形
となる。
ＰＢさんからのコメントです。（平成３１年２月２６日付け）
別解を考えてみました。以下、∠ＡＢＤ＝α（＝２２.５°）、∠ＢＡＤ＝β とおく。△ＡＢＣは
頂角２α、底角３αの二等辺三角形。
いま、ＡＤに関して、Ｂと対称な点をＥとする。△ＡＤＥ≡△ＡＤＢ であり、ＢＤ＝ＤＥ …(１)
ＡＥ＝ＡＢ＝ＡＣ より、点Ａは△ＥＢＣの外心。円周角と中心角の関係から、
∠ＢＣＥ＝∠ＢＡＥ／２＝β 、∠ＥＢＣ＝∠ＥＡＣ／２＝（２α―２β）／２＝α―β
ここで、ＡＤ＝ＢＣ より、△ＡＢＤをＢＣにＡの反対側に張り付ける。
（Ｄ→Ｂ、Ａ→Ｃ、Ｂ→Ｆとする）
∠ＤＡＢ＝∠ＥＣＢ＝β より、ＥはＦＣ上にある。
△ＢＥＣ の外角なので、∠ＢＥＦ＝∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝（α－β）＋β＝α＝∠ＢＦＥ
よって、ＢＥ＝ＢＦ＝ＢＤ …(２)
(１)(２)より、△ＤＢＥは正三角形で、これより、△ＡＢＤのＤの外角 α＋β＝３０°
β＝３０°－α＝７.５°より、 ∠ＤＡＣ＝２α－β＝３７.５°
（コメント） ＰＢさん、別解をありがとうございます。いろいろな考え方が出来る良問ですね！