次は、平成３１年度神奈川県高校入試数学の問題です。面白そうな問題だと思うので、皆
さん挑戦してみてください。
下図の△ABCにおいて、ＤはＡＢの中点、Ｅ、ＦはＡＣの３等分点である。ＢＥ、ＢＦとＣＤとの
交点をそれぞれＧ、Ｈとおく。
このとき、△ＢＧＤの面積と四角形ＥＧＨＦの面積比を最も簡単な整数比で表せ。
（答） とりあえずの解答です。もっと簡単な解答があったらご教示ください。
メネラウスの定理より、 ＤＧ ： ＧＣ＝１ ： ４ なので、 △ＢＧＤ＝（１/１０）△ＡＢＣ
同様にメネラウスの定理より、 ＤＨ ： ＨＣ＝１ ： １ なので、ＤＧ ： ＧＨ ： ＨＣ＝２ ： ３ ： ５
よって、 四角形ＥＧＨＦ＝（１/３）△ＡＢＣ−（３/２０）△ＡＢＣ＝（１１/６０）△ＡＢＣ
以上から、△ＢＧＤ ： 四角形ＥＧＨＦ＝（1/10）△ＡＢＣ ： （11/60）△ＡＢＣ＝６ ： １１ （終）
ＨＮ「愛犬ケン」さんからのコメントです。（平成３１年２月１６日付け）
メネラウスの定理を使えるのは一部の生徒でしょうね。中学生なので中点連結定理が出
題者の目的でしょうか。
（別解） △ABFで中点連結定理から、DEとＢＦは平行で、DE：BF＝1：2
同様に、△CDEで中点連結定理から、HFとDEは平行で、HF：DE＝2：1
よって、HF：DE：BF＝1：2：4 すなわち、HF：DE：BH＝1：2：3 である。
HF：DE＝1：2 から、HはCDの中点となる。
以上から、 DG：GH：HC＝2：3：5
よって、 △BDG：△ABC＝1：10 、四角形EFHG：△ABC＝11：60 となり、
△BDG：四角形EFHG＝6：11 （終）
（コメント） 当初、中点連結定理を使う定番の問題だったので、中点連結定理を使おうとは
思いましたが、手っ取り早く DG：ＧＨ：ＨＣ の比が求められるメネラウスの定理を
使ってしまいました。中学生的には確かに中点連結定理を用いた方が無難でしょ
う。別解をご投稿いただいたＨＮ「愛犬ケン」さんに感謝します。
（追記） 平成３１年３月２１日付け
最近、次のような別解があることを知った。これも素朴な考え方で中学生が思いつくような
解法と言えるだろう。
（別解） 点Ｄより、辺ＡＣに平行な直線を引き、線分ＢＥ、ＢＦとの交点をそれぞれＩ、Ｊとおく。
このとき、△ＤＩＧと△ＣＥＧは相似なので、ＤＧ：ＧＣ＝１：４＝２：８
同様に、△ＤＪＨと△ＣＦＨは相似なので、ＤＨ：ＨＣ＝１：１＝５：５
よって、ＤＧ：ＧＨ：ＨＣ＝２：３：５ となる。
そこで、△ＤＢＧ＝６Ｓ とおくと、△ＧＢＨ＝９Ｓ で、△ＨＢＣ＝１５Ｓ
よって、 △ＤＢＣ＝６Ｓ＋９Ｓ＋１５Ｓ＝３０Ｓ で、 △ＡＤＣ＝３０Ｓ
このとき、 △ＡＢＥ＝△ＥＢＦ＝△ＦＢＣ＝２０Ｓ なので、
四角形ＥＧＨＦ＝２０Ｓ−９Ｓ＝１１Ｓ
したがって、 △ＤＢＧ：四角形ＥＧＨＦ＝６Ｓ：１１Ｓ＝６：１１ （終）