三角形の形状３　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成３１年２月９日付け）

　次の等式を満たす△ABCは、どのような三角形であるかを理由をつけて答えなさい。

　cos(A+B-C)+cos(B+C-A)+cos(C+A-B)=1

（出典）　第213回 実用数学技能検定準1級2次 問題1




































（答）　ＨＮ「角栄」さんが考察されました。（平成３１年２月９日付け）

左辺=cos(π-2(A+B))+cos(π-2A)+cos(π-2B)=-cos(2(A+B))-cos(2A)-cos(2B)
　　　=-2cos²(A+B)+1-2cos(A+B)cos(A-B)=1 より、　cos²(A+B)+cos(A+B)cos(A-B)=0

よって、　cos(A+B)(cos(A+B)+cos(A-B))=0 より、cos(A+B)cos(A)cos(B)=0　なので、

　A=π/2 or B=π/2 or C=π/2　なる直角三角形かな?


（コメント）　角栄さん、ありがとうございます。途中計算を追記させていただきました。


　らすかるさんが考察されました。（平成３１年２月９日付け）

　A+B+C=πなので、

(右辺)-(左辺)=1-cos(A+B-C)-cos(B+C-A)-cos(C+A-B)
=1-cos(A+B-(π-A-B))-cos(π-2A)-cos(π-2B)
=1+cos(2A)+cos(2B)+cos(2A+2B)
=1+cos(2A)+cos(2B)+cos(2A)cos(2B)-sin(2A)sin(2B)
={1+cos(2A)}{1+cos(2B)}-sin(2A)sin(2B)
=4{{1+cos(2A)}/2・{1+cos(2B)}/2-sin(2A)sin(2B)/4}
=4{(cosAcosB)^2-sinAcosAsinBcosB}
=4cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB)
=4cosAcosBcos(A+B)
=4cosAcosBcos(π-C)
=-4cosAcosBcosC
=0

　よって、　cosAcosBcosC=0　より、A=π/2 または B=π/2 または C=π/2

　∴直角三角形