当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２８年４月１８日付け）
次の２つの等式を満たす△ABCはどんな三角形か。
sin3A＋sin3B＋sin3C＝3sin(A＋B＋C)
cos3A＋cos3B＋cos3C＝3cos(A＋B＋C)
（答） A＋B＋C＝π なので、２式は実質的に
sin3A＋sin3B＋sin3C=0 、cos3A＋cos3B＋cos3C=-3
sin3A＋sin3B＋sin3C
＝2sin3(A+B)/2cos3(A-B)/2+sin(3π-3(A+B))
＝2sin3(A+B)/2cos3(A-B)/2+sin3(A+B)
＝2sin3(A+B)/2cos3(A-B)/2+2sin3(A+B)/2cos3(A+B)/2
＝2sin3(A+B)/2(cos3(A+B)/2+cos3(A-B)/2)
＝2sin3(A+B)/2・2cos3A/2・cos3B/2
＝2sin3(π-C)/2・2cos3A/2・cos3B/2
＝-4cos3A/2・cos3B/2・cos3C/2＝0
0＜A、B、C＜π より、 0＜3A/2、3B/2、3C/2＜3π/2 なので、
3A/2＝π/2 または 3B/2＝π/2 または 3C/2＝π/2
すなわち、 A＝π/3 または B＝π/3 または C＝π/3
A＝π/3 のとき、 cos3A＋cos3B＋cos3C＝-3 に代入して、 cos3B＋cos3C＝-2
-1≦cos3B、cos3C≦1 なので、cos3B＝cos3C=-1 より、3B＝3C＝π から、B＝C＝π/3
B=π/3 、C=π/3 のときも同様である。
以上から、△ABCは正三角形である。
らすかるさんからのコメントです。（平成２８年４月１８日付け）
A+B+C＝π なので、3cos(A+B+C)＝-3
よって、 cos3A＝cos3B＝cos3C＝-1 なので、A＝B＝C＝π/3
これは第1式も満たすので、△ABCは正三角形である。
（コメント） cos3B＋cos3C＝-2 から、cos3B＝cos3C＝-1 を示したように、
cos3A＋cos3B＋cos3C＝-3 から、 cos3A＝cos3B＝cos3C＝-1
がすぐに言えましたね！私の解答は、ちょっと遠回りしてしまいました。らすかるさんに感謝
いたします。