何でもないような問題                       戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんからの出題です。
                                      (平成27年10月7日付け)

 △ABCで、∠A=60°、∠B=20°、AB=1 のとき、1/AC−BC の値は?







































(答) DD++さんが考察されました。(平成27年10月7日付け)

 辺 AC の延長上に2点 D、E を、∠CBD=∠DBE=20° とな
るように取る。

 △ABE は一辺が1の正三角形で、△ABC≡△EBD である。

 線分 BC は ∠ABD の二等分線なので、

   AB : BD = AC : CD より、 AC × BD = AB × CD

            すなわち、 AC × BC = 1 × (1−2AC) より、 1 - AC×BC = 2AC

             よって、 1/AC - BC = 2

[別解] 正弦定理より、

  1/AC = sin100° / sin20° = sin80° / sin20°

 BC = sin60° / sin100° = /(2cos10°)
   = sin10° / (2sin10°cos10°) = cos80° / sin20°

 よって、1/AC - BC = (sin80° - cos80°) / sin20°
             = 2sin(80°-60°) / sin20° = 2sin20° / sin20° = 2

# 初等的でも力技でもさらっと解けますね。AC の延長上にDをとって △ABC∽△ADB と
 するやり方もありそう。