初等幾何学　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２７年７月９日付け）

　△ABCの辺BCの中点をMとする。∠MAC=15°であるときの∠Bの最大値は？

また、∠Bの最大値が鈍角になるのは、∠MACが何度以下であるときか？

　ただし∠MACは、0度以上90度以内での整数値とする。

　　　　　　


























（答）　DD++さんが考察されました。（平成２７年７月１１日付け）

　タイトル通りに初等幾何だけで頑張ってみようとしたんですが……三角比って初等幾何の
範疇でいいんでしたっけ？なんにせよ、何かもっと楽な方法があるだろうという気がします。

　大きさは角度に影響しないので、適当に拡大・縮小して、BC=4 として考えます。線分MCの
中点をNとすると、BM=2、MN=NC=1 です。また、△MAC の外心をOとします。

　∠Bが鈍角になる可能性があるのは、△MACの外接円の半径がBN=3より長いときなので、
正弦定理より、　ｓｉｎ∠MAC＜1/3　が条件です。（三角比表より、整数値であれば最大19°）

　以下は、∠MAC=15°のときを考えます。

　外接円の半径は、正弦定理より、+、さらに、三平方の定理より、 ON=2+　です。

∠Bが最大になるのは、∠BAO=90°になるとき（ＡＢが円Ｏの接線！）で、このとき、方べき

の定理から、ＡＢ²=2×4　より、AB=2　となります。

　よって、四角形ABNOの面積Sを対角線BOで分けて考えると、

　　S=1/2×3×(2+)+1/2×2×(+)=(10+7)/2

　一方、対角線ANで分けると、

　S=1/2×3×2×sinB+1/2×(+)×(2+)×sinB=(11+3)sinB/2
（∵∠ＯＡＢ=∠ＯＮＢ=90°より、4点 A、B、N、O は同一円周上に存在する！）

　したがって、sinB=(10+7)/(11+3)=(+)/4

　また、sin15°＜1/3　より、∠Bは鈍角になることがあるので、∠Bの最大値は105°


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年７月１１日付け）

　実は、初等幾何に見せかけた難問だと思います。最初簡単な問題文だったのでとり組んで
いたら、全く手懸かりが出てこず図を何度も書き直していたら（正確に分度儀も使った。また、
この図が描きにくかった。）、Bの角度が最大になる条件が、３点A、C、Mを通る外接円が浮
かんできて、この円にBからの接線がAで接するときが、その条件であることが漸く掴めた。

　円に対する接線から、∠BAM=∠ACM　が起こることから、△ABC∽△MBA が相似比
の関係にあることが出てきます。（方べきの定理）

　よって、AC=*AM　なので、ACを斜辺とする直角２等辺三角形AOCをB点と反対側に作
ると（Oは△ACMの外心）、AC=*OA　で、AM=OA=OM から、△OAMは正三角形となり、

　2∠ACM=∠AOM=60°（中心角と円周角の関係）　から、∠ACM=30°が導ける。

　以上から、最後に△ABCを考えて、　∠B=180°-(30°+15°+30°)=105°（ふゥ〜）


　推論の微妙な組合せで進みますが、平面幾何で教科書に紹介されている基本事項を洩
れなく使い回す良問だと感心しました。

　そこで、この一定角∠MAC=θ を固定して、Bの角度の最大値が求めたくなった。先ほど
の議論を辿っていくと、今度はACを斜辺とする他辺の長さAMの直角２等辺三角形の直角
を担う第３点Pは、今度は、△ACMの外心のOとはずれる位置にしか来られなくなる。途方
に暮れていたが、１時間後、一辺の長さがAM=aの正方形APCQを作ってみることに思い
至った。こうすると、∠ACM=ψ　とθがベクトルAC、MC の組合せで関係ができることにな
る。

　A(0，0)、P(a，0)、C(a，a)、Q(0，a)、M(a・cos(θ+45°)，a・sin(θ+45°))　と座標を設ける
と、

cosψ=(AC･MC)/|AC|*|MC|
    ={a²(1-cos(θ+45°))+a²(1-sin(θ+45°))}/a²・√{(1-cos(θ+45°))²+(1-sin(θ+45°))²}
    =(2-cosθ)/√(6-4cosθ)

　これから、各θに対応するcosψからψをコンピュータ利用で求め、これよりBの最大角∠B
が、
　　∠B=180°-θ°-2ψ°　で繋がる。　（→　計算結果一覧）

　正に、19°以下で、Bの最大角が鈍角に入ります。DD++さんの結果と一致したので安心し
ました。


　DD++さんからのコメントです。（平成２７年７月１１日付け）

　ACを斜辺とする直角２等辺三角形AOCをB点と反対側に作ると（Oは△ACMの外心）

　このOが外心になる保証ってどこから来てるんですかね？私の場合は、外心を取ると直角
二等辺三角形が出来そうという逆順を辿ったのですが、証明し切れずに別の道へ逃げてし
まいました。

　また、これが証明できたら、AB//OC（どちらもOAに垂直）から錯角で45°を持ってきた方
が解答がすっきりしそうです。


　DD++さんからの続報です。（平成２７年７月２７日付け）

　以下の手順でいけるようです。

　△ACMの外心をOとします。OCと垂直な直径の点Mに近い側の端をA’とすると、

　∠A’OC=90° と ∠A’OM=60° から、　A’M ： A’C=1 ：

　ここで、XM ： XC=1 ： となる点Xは、線分MCを、1 ： に分けるアポロニウスの円上

にあり、同時に、△ACMの外接円上にもある点は２円の交点であるため平面上に高々２個

しかありません。しかも、点Mはアポロニウスの円内に、点Cはアポロニウスの円外にあるの

で、XM ： XC=1 ： かつ、弧MC（長い方）上にある点は高々1つです。

　したがって、この条件を満たす点Aと点A’は同一の点であるとわかります。

　よって、∠AOC=∠A’OC=90°


（コメント）　なるほど！△ACMの外接円以外に、線分MCを、1 ： に分けるアポロニウス
　　　　　　の円を考えればいいんですね。何となく上記の下線部のモヤモヤがすっきりしまし
　　　　　　た。DD++さんに感謝します。