多項式の展開　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　（ｘ＋１）²（ｘ＋２）²（ｘ＋３）²（ｘ＋４）²　を展開したときのｘ^kの係数をａ_kとおく。

　このとき、次の値を求めよ。

（１）　ａ₀

（２）　ａ₁＋ａ₃＋ａ₅＋ａ₇

（３）　ａ₂＋ａ₄＋ａ₆＋ａ₈




































（答）　題意より、

　（ｘ＋１）²（ｘ＋２）²（ｘ＋３）²（ｘ＋４）²＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋ａ₃ｘ³＋ａ₄ｘ⁴＋ａ₅ｘ⁵＋ａ₆ｘ⁶＋ａ₇ｘ⁷＋ａ₈ｘ⁸

（１）　ｘ＝０　を代入して、　ａ₀＝（１・２・３・４）²＝５７６

（２）　ｘ＝１を代入して、　ａ₀＋ａ₁＋ａ₂＋ａ₃＋ａ₄＋ａ₅＋ａ₆＋ａ₇＋ａ₈＝（２・３・４・５）²＝１４４００

　　　ｘ＝−１を代入して、　ａ₀−ａ₁＋ａ₂−ａ₃＋ａ₄−ａ₅＋ａ₆−ａ₇＋ａ₈＝０

　辺々引いて、　２（ａ₁＋ａ₃＋ａ₅＋ａ₇）＝１４４００　より、　ａ₁＋ａ₃＋ａ₅＋ａ₇＝７２００

（３）　（２）の２式を辺々加えて、　２（ａ₀＋ａ₂＋ａ₄＋ａ₆＋ａ₈）＝１４４００　より、

　　　　　　ａ₀＋ａ₂＋ａ₄＋ａ₆＋ａ₈＝７２００

　　（１）より、　ａ₀＝５７６　なので、　ａ₂＋ａ₄＋ａ₆＋ａ₈＝７２００−５７６＝６６２４　　（終）


（別解）　実際に展開してみると、

（ｘ＋１）²（ｘ＋２）²（ｘ＋３）²（ｘ＋４）²
＝（ｘ²＋５ｘ＋４）²（ｘ²＋５ｘ＋６）²
＝（ｘ⁴＋１０ｘ³＋３５ｘ²＋５０ｘ＋２４）²
＝ｘ⁸＋２０ｘ⁷＋１７０ｘ⁶＋８００ｘ⁵＋２２７３ｘ⁴＋３９８０ｘ³＋４１８０ｘ²＋２４００ｘ＋５７６

　以上から、　ａ₀＝５７６

　　　　　　ａ₁＋ａ₃＋ａ₅＋ａ₇＝２４００＋３９８０＋８００＋２０＝７２００

　　　　　　ａ₂＋ａ₄＋ａ₆＋ａ₈＝６６２４　　（終）