当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＫＳ」さんからの出題です。
（平成２７年６月７日付け）
(a+b)(b+c)(c+a) を展開してできる項数は７個、(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) の項数は何個でしょう
か？このように文字をｎ個に増やしサイクリックにしたとき、項数をｎ個を用いて表すことがで
きるでしょうか？
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２７年６月７日付け）
展開した時に同じ項になるのが全変数を1回だけ掛けたもののみ（上記ではabcdのみ）な
ので、項数は、２n-1 になると思います。
（コメント） (a+b)(b+c)(c+a)=abc+aba+acc+aca+bbc+bba+bcc+bca より、項数は、7個
a+b、b+c、c+a のそれぞれの因数から一つの文字を取って掛け合わせる場合の数は、
２×２×２＝２3（通り）で、このうち、abc と bca が同類項になるので、求める項数は、
２3−２＋１=２3−１=７（個） となる。 ．．．．という解釈でいいのでしょうか？
この解釈が正しければ、(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) の項数は、
a+b、b+c、c+d、d+a のそれぞれの因数から一つの文字を取って掛け合わせる場合の数
は、２×２×２×２＝２4（通り）で、このうち、abcd と bcda が同類項になるので、求める項数
は、 ２4−２＋１=２4−１=１５（個） となる。
ＫＳさんからのコメントです。（平成２７年６月８日付け）
らすかるさん、ありがとうございます。
(a+b+c)(c+d+a)の項数は、３×３−１
(a+b+c)(c+d+e)(e+f+a)の項数は、３×３×３−１
(a+b+c+d)(d+e+f+a)の項数は、４×４ー１
一般に、
()の中にｋ個の文字があり、最後の文字から始まるサイクリックなｎ個の積の項数は、
ｋｎ−１になる
が言えそうです。また、一般に、
()の中にｋ個の文字があり、最後の文字２個から始まるサイクリックなｎ個の積の項
数は、ｋｎ−２ｎになる
が言えそうです。