間違いはどれか 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年４月２１日付け）

　 複素数についての問題です。(新課程高校数学�Vレベル)

　次の５つのことがらのうち、誤っているのはどれか？

１．　整数、分数、無理数、虚数は複素数である。

２．　ｚ＝−１＋ｉ・ とする。複素平面上で点 ＝−１−ｉ・ は点 ｚ と実軸に関して対称
　　の位置にある。

３．　複素数 ｚ の絶対値は、|ｚ|＝ｚ・

４．　ｎ を任意の整数とするとき、(cosθ＋ｉ・sinθ)^ｎ＝cos ｎθ＋ｉ・sin ｎθ

５．　ｚ は任意の複素数、α＝cosθ＋ｉ・sinθ のとき、arg(ｚ/α)＝arg ｚ−θ


























（答）　間違いは、３．と５．

　３．　|ｚ|＝ｚ・　は誤りで、正しくは、　|ｚ|²＝ｚ・

　５．　arg(ｚ/α)＝arg ｚ−θは誤りで、正しくは、　arg(ｚ/α)＝arg ｚ−arg α

　　　　α＝cosθ＋ｉ・sinθ　だからといって、arg α＝θ　とは言えない。

　　　　正しくは、　arg α＝θ＋２ｎπ　（ｎは整数）


　空舟さんからのコメントです。（平成２４年４月２１日付け）

　代数体の分野では、２次体だと ｚ=ａ+ｂ√q に対して、共役の積、即ち、ｚ・=ａ²-ｑｂ² に
よって「イデアルのノルム」が定義されています。これは、２次体上の整数環でｚを法とする
剰余類の個数という意味を持ちます。「剰余類の個数」と「複素数の絶対値」は一見別物に
思えるので面白いです。

例　複素整数環上で、ｚ=1+2i を法とする剰余群は、0、±1、±i の5個とまとめられる。

　ちなみに、線形代数の分野で「ベクトルのノルム」というと、「√」がつくようです。(「√」をつ
けるのは、スカラーａに対して、|ａX|=|ａ||X| にする意味のようです。)

　調べてみると、行列ノルムとかいうものも存在して、行列式とは別物らしいです。

　ノルムとか絶対値とか行列式とか、似たイメージなのでなんかややこしいです...。


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年１０月８日付け）

　これは、１．も誤りではないかと思います。「分数」は「括線の上下の数の比として1つの数
を表したもの」のことですが、比を作るのに用いる数の種類は「分母は0ではいけない」以外
何も限定していません。

　つまり、(1+2i+3j+4k)/2（四元数）なども分数に該当しますが、これはもちろん複素数では
ないので、分数は必ずしも複素数とはいえないと思います。


　よおすけさんからのコメントです。（平成２８年１０月８日付け）

　４．も、任意の整数ｎを、ガウスの整数 a+bi (a、bは有理整数、iは虚数単位)と見なした場
合、例えば、n=1+iのとき、

　(cosθ＋isinθ)^(1+i)=(cos(1+i)θ＋isin(1+i)θ)

とやりそうだが、成り立たない。