次のように、１から１００までの自然数が、横一列に並んでいる。
１、２、３、４、５、６、・・・・・・、９５、９６、９７、９８、９９、１００
いま、次のルールで、数を消していく。
（１） まず、２から消し始める。次に、一つおきに、数を消していく。
（２） 端についたら、今度は折り返して、逆向きに残っている数に対して、（１）と同様のこと
を繰り返す。すなわち、残っている端の数の左隣の数から消し始め、次に、一つおきに、
数を消していく。
（３） 端についたら折り返して、以下、同様に、操作を繰り返す。
上記のルールによれば、残っている数は次のように変化する。
１、２、３、４、５、６、・・・・・・、９５、９６、９７、９８、９９、１００
１、 ３、 ５、 ・・・・・・、９５、 ９７、 ９９
３、 ・・・・・・、９５、 ９９
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
さて、最後に残る数は何であろうか？
（答） １、２、３、４、・・・、ｎ において、０、１、２、３、・・・、ｎ－１ として、いくつか実験してみよう。
ｎ＝４ のとき、 ０、１、２、３
０、 ２
２
以上から、数 ２ すなわち、数 ３ が残る。
ｎ＝５ のとき、 ０、１、２、３、４
０、 ２、 ４
０、 ４
０
以上から、数 ０ すなわち、数 １ が残る。
ｎ＝７ のとき、 ０、１、２、３、４、５、６、７
０、 ２、 ４、 ６
２、 ６
２
以上から、数 ２ すなわち、数 ３ が残る。
これらの、実験結果に共通性はないだろうか？
ｎ＝４ のとき、ｎ－１＝３ を、４進数で表せば、３ である。
残った数 ２ を、４進数で表せば、２ である。
ｎ＝５ のとき、ｎ－１＝４ を、４進数で表せば、１０ である。
残った数 ０ を、４進数で表せば、０ である。
ｎ＝７ のとき、ｎ－１＝６ を、４進数で表せば、１２ である。
残った数 ２ を、４進数で表せば、２ である。
以上の規則性から、ｎ－１ を４進数で表した場合、残る数は、その４進数の各位の数を
次の変換公式で置き換えたものに、１を加えて得られる。
０または１→０ ２または３→２
この法則から、冒頭の問題の答えは、１００－１＝９９ を４進数で表すと、１２０３ なので、
残る数の４進数は、２０２ となる。したがって、求める数は、
（２×４2＋２）＋１＝３５
となる。
冒頭の実験の続きを実行してみよう。
３、７、１１、１５、１９、２３、２７、３１、３５、３９、４３、４７、５１、５５、５９、６３、６７、７１、７５、７９、８３、８７、９１、９５、９９
３、 １１、 １９、 ２７、 ３５、 ４３、 ５１、 ５９、 ６７、 ７５、 ８３、 ９１、 ９９
３、 １９、 ３５、 ５１、 ６７、 ８３、 ９９
３、 ３５、 ６７、 ９９
３５、 ９９
３５
以上から、確かに残る数は、３５であることが分かる。
上で述べた公式を用いれば、次のような問題は即答できるだろう。
（国家公務員Ⅰ種試験対策として活用できると思う。）
問題 冒頭のルールに従って、１から２００４までの自然数を篩いにかける。最後に残る数は
何であろうか？
（解） ２００４－１＝２００３ を４進数で表せば、１３３１０３ なので、残る数の４進数は、２２００２
となる。したがって、求める数は、
（２×４4＋２×４3＋２）＋１＝６４３
となる。
（参考文献：数学オリンピック財団編 数学オリンピック（１９９７～２００２） （日本評論社））