無理方程式　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　方程式　√ａ−√（３ｂ）＝　を満たす自然数 ａ、ｂ の値を求めよ。









































（答）　すぐ分かる解としては、　ａ＝１８ｋ²＋１２ｋ＋２　、　ｂ＝６ｋ²　（ｋは１以上の自然数）
　　　だが、これ以外にないのだろうか？．．．．ちょっと疑問？


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年９月２０日付け）

　解は、これ以外にないようです。高校生レベルで以下のように普通に解けます。

　移項整理した √a=√(3b)+ を両辺平方して、a=3b+2+2√(6b)

よって、　√(6b)=(a-3b-2)/2 は有理数で、互いに素な自然数 p、q を用いて、√(6b)=q/p と

書けます。

両辺平方して、 6b=q²/p² で、左辺は整数より右辺も整数で、p,qは互いに素なので、p=1。

すると、6b=q² より、qは2の倍数かつ3の倍数なので、q=6k　（kは自然数）　とおけます。

したがって、b=6k² で、このとき、a=2(3k+1)²


　ＧＡＩさんからのコメントです。（平成２８年９月２０日付け）

　一般に、√X-√(qY)=√p　（p、q は異なる自然数） であるとき、これを満たす自然数X、Y

の組は、kを任意の自然数とし、X=p(qk+1)²　、Y=pqk²　がとれることになるんですね。

具体的には（√nをsqrt(n)で表して）

=(4-3)=(5-4)=(6-5)=(7-6)=(8-7)=(9-8)=(10-9)=(11-10)=・・・

などから、

sqrt(2)=sqrt(32)-sqrt(3*6)=sqrt(98)-sqrt(3*24)=sqrt(50)-sqrt(4*8)
　　　　=sqrt(162)-sqrt(4*32)=sqrt(72)-sqrt(5*10)=sqrt(242)-sqrt(5*40)=･･････

同様に、

sqrt(3)=sqrt(75)-sqrt(4*12)=sqrt(243)-sqrt(4*48)=sqrt(108)-sqrt(5*15)
　　　　=sqrt(363)-sqrt(5*60)=sqrt(147)-sqrt(6*18)=sqrt(507)-sqrt(6*72)=･･････

sqrt(5)=sqrt(245)-sqrt(6*30)=sqrt(845)-sqrt(6*120)=sqrt(320)-sqrt(7*35)
　　　　=sqrt(1125)-sqrt(7*140)=sqrt(405)-sqrt(8*40)=sqrt(1445)-sqrt(8*160)=･･････

sqrt(7)=sqrt(567)-sqrt(8*56)=sqrt(2023)-sqrt(8*224)=sqrt(700)-sqrt(9*63)
　　　　=sqrt(2527)-sqrt(9*252)=sqrt(847)-sqrt(10*70)=sqrt(3087)-sqrt(10*280)=･･････

以下自由に作れる。