不定方程式                                戻る

 当HP読者のHN「V」さんからの出題です。(平成25年5月3日付け)

  (X+Y−1)(Y+Z−1)(Z+X−1)=6XYZ

を満たす1より大きい自然数 X、Y、Z(ただし、X<Y<Z)を多様な発想で求めよ。
これを解いてもらえませんか?





































(答) 当HPがいつもお世話になっているHN「S(H)」さんが考察されました。
                                      (平成25年5月3日付け)
 不定方程式を解いてみました。(→ 参考

{{1, 1, 6}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 4, 3}, {1, 5, 2}, {1, 6, 1}, {2, 1, 5}, {2, 4, 5}, {2, 5, 1}, {2, 5, 4},
{3, 1, 4}, {3, 4, 1}, {3, 4, 6}, {3, 6, 4}, {4, 1, 3}, {4, 2, 5}, {4, 3, 1}, {4, 3, 6}, {4, 5, 2}, {4, 5, 6},
{4, 6, 3}, {4, 6, 5}, {5, 1, 2}, {5, 2, 1}, {5, 2, 4}, {5, 4, 2}, {5, 4, 6}, {5, 5, 6}, {5, 6, 4}, {5, 6, 5},
{6, 1, 1}, {6, 3, 4}, {6, 4, 3}, {6, 4, 5}, {6, 5, 4}, {6, 5, 5}}

から、条件を満たす自然数 X、Y、Z(ただし、1<X<Y<Z)の組は、

 {2, 4, 5} 、 {3, 4, 6} 、 {4, 5, 6}

の3組。


 Vさんからのコメントです。(平成25年5月3日付け)

 さっそくの回答(解答)ありがとうございます。


 当HPがいつもお世話になっているHN「攻略法」さんが考察されました。
                                      (平成25年5月4日付け)

・y、z の上限について

 1<x<y<z より、1+(y-1)<x+(y-1) なので、 y<x+y-1

             1+(z-1)<y+(z-1) なので、 z<y+z-1

 このとき、yz(z+x-1)<(x+y-1)(y+z-1)(z+x-1)=6xyz となり、(z+x-1)<6x より、z<5x+1

 このことから、 1<x<y<z≦5x

・x の上限について・・・y、zに上記の範囲を適用して具体的に調べてみる。

f(x,y,z)=(x+y-1)(y+z-1)(z+x-1)-6xyz とおく。

x=2のとき、

  x  y   z  f(x,y,z)
2  3   4  -24
2  3   5  -12
2  3   6    8
2  3   7   36
2  3   8   72
2  3   9  116
2  3  10  168

2  4   5    0
2  4   6   27
2  4   7   64
2  4   8  111
2  4   9  168
2  4  10  235
  x  y   z  f(x,y,z)
2  5   6  60
2  5   7  108
2  5   8  168
2  5   9  240
2  5  10  324

2  6   7  168
2  6   8  243
2  6   9  332
2  6  10  435

  x  y   z  f(x,y,z)
2  7   8  336
2  7   9  444
2  7  10  568

2  8   9  576
2  8  10  723

2  9  10  900

赤字の各数字列に着目すると、それぞれzが増加すれば、fも増加する。

 また、赤字の数字列に着目すると、yが増加すれば、fも増加する。

  x  y   z  f(x,y,z)
2  3   4  -24
2  3   5  -12
2  3   6    
8
2  3   7   
36
2  3   8   
72
2  3   9  
116
2  3  10  
168

2  4   5    0
2  4   6   27
2  4   7   64
2  4   8  111
2  4   9  168
2  4  10  235
  x  y   z  f(x,y,z)
2  5   6  60
2  5   7  108
2  5   8  
168
2  5   9  
240
2  5  10  
324

2  6   7  168
2  6   8  243
2  6   9  
332
2  6  10  
435

  x  y   z  f(x,y,z)
2  7   8  336
2  7   9  444
2  7  10  
568

2  8   9  576
2  8  10  723

2  9  10  900

x=3のとき、上記と同じことが言える。

  x  y   z  f(x,y,z)
3  4   5  -24
3  4   6    0
3  4   7   36
3  4   8   84
3  4   9  144
3  4  10  216
3  4  11  300
3  4  12  396
3  4  13  504
3  4  14  624
3  4  15  756

3  5   6   20
3  5   7   63
3  5   8  120
3  5   9  191
3  5  10  276
3  5  11  375
3  5  12  488
3  5  13  615
3  5  14  756
3  5  15  911

3  6   7  108
3  6   8  176
3  6   9  260
3  6  10  360
3  6  11  476
3  6  12  608
3  6  13  756
3  6  14  920
3  6  15  1100
  x  y   z  f(x,y,z)
3  7   8   252
3  7   9   351
3  7  10   468
3  7  11   603
3  7  12   756
3  7  13   927
3  7  14  1116
3  7  15  1323

3  8   9   464
3  8  10   600
3  8  11   756
3  8  12   932
3  8  13  1128
3  8  14  1344
3  8  15  1580

3  9  10   756
3  9  11   935
3  9  12  1136
3  9  13  1359
3  9  14  1604
3  9  15  1871
  x  y   z  f(x,y,z)
3  10  11  1140
3  10  12  1368
3  10  13  1620
3  10  14  1896
3  10  15  2196

3  11  12  1628
3  11  13  1911
3  11  14  2220
3  11  15  2555

3  12  13  2232
3  12  14  2576
3  12  15  2948

3  13  14  2964
3  13  15  3375

3  14  15  3836

 同様に、x=4、5、6、…

 以上から、 f(x,x+1,x+2)≦f(x,y,z) (が推定される。)

よって、f(x,y,z)=0 とすると、f(x,x+1,x+2)≦0 でなければならない。

したがって、f(x,x+1,x+2)=2x(x+1)(x-4) なので、x=2、3、4 でなければならない。

 (まとめ) 手順:x=2、3、4 について、f(x,y,z)≧0になるまで、y、z を昇順に調べる。

具体的には、

  x  y   z  f(x,y,z)
2  3   4  -24
2  3   5  -12
2  3   6    8
  x  y   z  f(x,y,z)
2  4   5    0
3  4   5  -24
3  4   6    0
  x  y   z  f(x,y,z)
3  5   6   20

4  5   6    0

となる。


 Vさんからのコメントです。(平成25年5月4日付け)

 攻略法さんありがとうございます。上記の推定は合っていると思います。厳密には、差分
か微分で証明できると思います。

 この問題は数セミの4月号の「エレガントな解答をもとむ」の問題で、5月12日発売の6月
号で解答が載りますので、そのときは概要を投稿します。
(不思議なことに数セミ発売より前に質問サイトに載っていました。出題者の安田亨氏はそ
のサイトを見て出題したんでしょうかね?)

 あるブログに、「相加平均≧相乗平均」を使った解法が載っていました。(さっき見つけました

 (x+y-1)(y+z-1)(z+x-1)=6xyz …(1)

相加相乗平均の関係より、

 x+y-1≧ 2√{(x(y-1)}、y+z-1≧ 2√{(y(z-1)}、z+x-1> 2√{x(z-1)}

よって、6xyz > 8x√{y(y-1)}(z-1) の両辺を 8xyz で割って、

   3/4 > √{1-(1/y)}{1-(1/z)}

両辺を2乗して、 9/16 > (1-1/y)(1-1/z)2 > (1-1/y)3

 よって、 y < 1/{1-(9/16)1/3} < 6 より、 y≦5

1<x<y なので、(x,y)の可能な組は、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5) のみ。

 これらの組について、等式(1)を満たす自然数解 z (>y)があるか確認すると、

 (x,y,z)=(2,4,5)、(3,4,6)、(4,5,6) の3通りのみ。



  以下、工事中