不定方程式 
当ＨＰ読者のＨＮ「Ｖ」さんからの出題です。（平成２５年５月３日付け）
(X＋Y−１)(Y＋Z−１)(Z＋X−１)＝６XYZ
を満たす１より大きい自然数 X、Y、Z（ただし、X＜Y＜Z）を多様な発想で求めよ。
これを解いてもらえませんか？
（答） 当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「Ｓ（Ｈ）」さんが考察されました。
（平成２５年５月３日付け）
不定方程式を解いてみました。（→ 参考）
{{1, 1, 6}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 4, 3}, {1, 5, 2}, {1, 6, 1}, {2, 1, 5}, {2, 4, 5}, {2, 5, 1}, {2, 5, 4},
{3, 1, 4}, {3, 4, 1}, {3, 4, 6}, {3, 6, 4}, {4, 1, 3}, {4, 2, 5},
{4, 3, 1}, {4, 3, 6}, {4, 5, 2}, {4, 5, 6},
{4, 6, 3}, {4, 6, 5}, {5, 1, 2}, {5, 2, 1}, {5, 2, 4}, {5, 4, 2}, {5, 4, 6}, {5, 5, 6}, {5, 6, 4}, {5, 6, 5},
{6, 1, 1}, {6, 3, 4}, {6, 4, 3}, {6, 4, 5}, {6, 5, 4}, {6, 5, 5}}
から、条件を満たす自然数 X、Y、Z（ただし、１＜X＜Y＜Z）の組は、
{2, 4, 5} 、 {3, 4, 6} 、 {4, 5, 6}
の３組。
Ｖさんからのコメントです。（平成２５年５月３日付け）
さっそくの回答（解答）ありがとうございます。
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「攻略法」さんが考察されました。
（平成２５年５月４日付け）
・ｙ、ｚ の上限について
1＜x＜y＜z より、1+(y-1)＜x+(y-1) なので、 y＜x+y-1
1+(z-1)＜y+(z-1) なので、 z＜y+z-1
このとき、yz(z+x-1)＜(x+y-1)(y+z-1)(z+x-1)=6xyz となり、(z+x-1)＜6x より、z＜5x+1
このことから、 1＜x＜y＜z≦5x
・ｘ の上限について・・・y、zに上記の範囲を適用して具体的に調べてみる。
f(x,y,z)=(x+y-1)(y+z-1)(z+x-1)-6xyz
とおく。
x=2のとき、
| |
x y z f(x,y,z)
2 3 4 -24
2 3 5 -12
2 3 6 8
2 3 7 36
2 3 8 72
2 3 9 116
2 3 10 168
2 4 5 0
2 4 6 27
2 4 7 64
2 4 8 111
2 4 9 168
2 4 10 235
|
|
x y z f(x,y,z)
2 5 6 60
2 5 7 108
2 5 8 168
2 5 9 240
2 5 10 324
2 6 7 168
2 6 8 243
2 6 9 332
2 6 10 435
|
|
x y z f(x,y,z)
2 7 8 336
2 7 9 444
2 7 10 568
2 8 9 576
2 8 10 723
2 9 10 900
|
赤字の各数字列に着目すると、それぞれzが増加すれば、fも増加する。
また、赤字の数字列に着目すると、yが増加すれば、fも増加する。
| |
x y z f(x,y,z)
2 3 4 -24
2 3 5 -12
2 3 6 8
2 3 7 36
2 3 8 72
2 3 9 116
2 3 10 168
2 4 5 0
2 4 6 27
2 4 7 64
2 4 8 111
2 4 9 168
2 4 10 235 |
|
x y z f(x,y,z)
2 5 6 60
2 5 7 108
2 5 8 168
2 5 9 240
2 5 10 324
2 6 7 168
2 6 8 243
2 6 9 332
2 6 10 435
|
|
x y z f(x,y,z)
2 7 8 336
2 7 9 444
2 7 10 568
2 8 9 576
2 8 10 723
2 9 10 900 |
x=3のとき、上記と同じことが言える。
| |
x y z f(x,y,z)
3 4 5 -24
3 4 6 0
3 4 7 36
3 4 8 84
3 4 9 144
3 4 10 216
3 4 11 300
3 4 12 396
3 4 13 504
3 4 14 624
3 4 15 756
3 5 6 20
3 5 7 63
3 5 8 120
3 5 9 191
3 5 10 276
3 5 11 375
3 5 12 488
3 5 13 615
3 5 14 756
3 5 15 911
3 6 7 108
3 6 8 176
3 6 9 260
3 6 10 360
3 6 11 476
3 6 12 608
3 6 13 756
3 6 14 920
3 6 15 1100 |
|
x y z f(x,y,z)
3 7 8 252
3 7 9 351
3 7 10 468
3 7 11 603
3 7 12 756
3 7 13 927
3 7 14 1116
3 7 15 1323
3 8 9 464
3 8 10 600
3 8 11 756
3 8 12 932
3 8 13 1128
3 8 14 1344
3 8 15 1580
3 9 10 756
3 9 11 935
3 9 12 1136
3 9 13 1359
3 9 14 1604
3 9 15 1871 |
|
x y z f(x,y,z)
3 10 11 1140
3 10 12 1368
3 10 13 1620
3 10 14 1896
3 10 15 2196
3 11 12 1628
3 11 13 1911
3 11 14 2220
3 11 15 2555
3 12 13 2232
3 12 14 2576
3 12 15 2948
3 13 14 2964
3 13 15 3375
3 14 15 3836 |
同様に、x=4、5、6、…
以上から、 f(x,x+1,x+2)≦f(x,y,z) （が推定される。）
よって、f(x,y,z)=0 とすると、f(x,x+1,x+2)≦0 でなければならない。
したがって、f(x,x+1,x+2)=2x(x+1)(x-4) なので、x=2、3、4 でなければならない。
（まとめ） 手順：x=2、3、4 について、f(x,y,z)≧0になるまで、y、z を昇順に調べる。
具体的には、
| |
x y z f(x,y,z)
2 3 4 -24
2 3 5 -12
2 3 6 8 |
|
x y z f(x,y,z)
2 4 5 0
3 4 5 -24
3 4 6 0 |
|
x y z f(x,y,z)
3 5 6 20
4 5 6 0 |
となる。
Ｖさんからのコメントです。（平成２５年５月4日付け）
攻略法さんありがとうございます。上記の推定は合っていると思います。厳密には、差分
か微分で証明できると思います。
この問題は数セミの４月号の「エレガントな解答をもとむ」の問題で、５月１２日発売の６月
号で解答が載りますので、そのときは概要を投稿します。
（不思議なことに数セミ発売より前に質問サイトに載っていました。出題者の安田亨氏はそ
のサイトを見て出題したんでしょうかね？）
あるブログに、「相加平均≧相乗平均」を使った解法が載っていました。（さっき見つけました）
(x+y-1)(y+z-1)(z+x-1)=6xyz …（１）
相加相乗平均の関係より、
x+y-1≧ 2√｛(x(y-1)｝、y+z-1≧ 2√｛(y(z-1)｝、z+x-1＞ 2√｛x(z-1)｝
よって、6xyz ＞ 8x√｛y(y-1)｝(z-1) の両辺を 8xyz で割って、
3/4 ＞ √{1-(1/y)｝{1-(1/z)}
両辺を２乗して、 9/16 ＞ (1-1/y)(1-1/z)2 ＞ (1-1/y)3
よって、 y ＜ 1/{1-(9/16)1/3} ＜ 6 より、 y≦5
1＜x＜y なので、(x，y)の可能な組は、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5) のみ。
これらの組について、等式（１）を満たす自然数解 ｚ (＞y)があるか確認すると、
(x，y，z)=(2，4，5)、(3，4，6)、(4，5，6) の３通りのみ。
以下、工事中