当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らい」さんからの出題です。
（平成２４年１１月１１日付け）
受験生ですが、勉強の合間を縫って一問出題させていただきます。友人との会話から生
まれました。
関数s[n](x) c[n](x)をそれぞれ次のように定める。
s[1](x) = sinx s[n+1](x) = sin(s[n](x))
c[1](x) = cosx c[n+1](x) = cos(c[n](x))
この時、方程式 s[n](x) = c[n](x) を満たす実数解ｘが存在するようなｎの値を全て求めよ.
（答） ＧＡＩ さんが考察されました。
sinｘ、cosｘ は、共に周期が２πなので、[0,2π]で考察してみる。
n=2 および n＞3では、c[n](x)＞s[n](x) が成立する。
よって、 ｎ=1、3 だけ実数解が存在できる、と思う。
（コメント） グラフ描画ソフトのお助けで、確かに、n=2 および n＞3では交わっていないよ
うですね！
攻略法さんからのコメントです。（平成２４年１１月１５日付け）
n=1の場合 sinA=cosBより、A±B=(2m+1/2)π （mは整数）
A=B=ｘ と置いて、交点は、ｘ=(m+1/4)π
n=2の場合
sin(sinA)=cos(cosB)より、sinA±cosB=(2m+1/2)π （mは整数）
-1≦sinA≦1、 -1≦cosB≦1なので、
-2≦sinA±cosB=(2m+1/2)π≦2 より、m=0
よって、 sinA±cosB=π/2
A=B=ｘ と置いて、合成すると、
sin(x)±cos(x)=√2sin(x±π/4)≦√2=1.414213…＜π/2=1.570796…
から、sin(ｘ)±cos(ｘ)=π/2を満たすｘは存在しない。したがって、交点はない。
グラフを描いて考えよう。
n=2の場合 0＜c[1](1)=cos(1)≦c[2](x)≦1
周期π、nπのとき、最大値=cos(1)
| s[2](x) |≦s[1](1)=sin(1)
周期2π、(2m+1/2)πのとき、最大値sin(1)
(2m-1)π＜x＜2mπのとき、s[2](x)＜0
n→∞の場合
c[1](x)=cosx、c[n+1](x)=cos(c[n](x))は、c[∞](x)=x0（定数）となる。
UBASICのプログラムで確認してみました。
テイラー展開より、cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4! … なので、x=1-x^2/2!として、x^2+2x-2=0
よって、x=-1±√3
list
10 X=-1+sqrt(3) '初期値（近似値）
20 print 0;X
30 for N=1 to 20 '反復法 c[n+1](x)=cos(c[n](x))
40 X=cos(X)
50 print N;X '過程
60 next N
70 print X-cos(X) 'x=cos(x)を満たすxに収束する
OK
run
0 0.7320508075688772935
1 0.7438052149775547789
2 0.7358974080803298203
3 0.7412286644376300089
4 0.7376395279582761535
5 0.7400581377059665506
6 0.738429355929257731
7 0.7395267137322468302
8 0.7387876072183223705
9 0.739285517590125828
10 0.7389501370520526931
11 0.7391760615197170956
12 0.7390238797601406927
13 0.7391263928927468661
14 0.7390573395709313743
15 0.7391038550627792014
16 0.7390725218238695112
17 0.7390936283412641515
18 0.7390794107693591175
19 0.7390889879113876927
20 0.7390825366399223434
-0.0000043456570619621
OK
反復回数を多くすると、
：
：
96 0.7390851332151606413
97 0.7390851332151606418
98 0.7390851332151606415
99 0.7390851332151606417
100 0.7390851332151606415
-0.0000000000000000001
OK
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年１１月１５日付け）
単なる数値計算ですが、ｘ=cosｘの解を求めるのにニュートン法を使うと、
初期値 -1+√3, x←x-(x-cosx)/(1+sinx)
0 0.732050807568877293527
1 0.739096139913583253511
2 0.739085133241910334594
3 0.739085133215160641655
たった3回で20桁求まりますね。