２次方程式の図式解法 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（令和５年１０月１日付け）

　 ２次方程式 ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０　(ａ、ｂ、ｃ は実数) の図式解法の一つとして次の方法がある。

　直交座標軸を定め、座標がそれぞれ (−ｂ/(２ａ)，(ｃ＋ａ)/(２ａ)) および (０，１) である２点
Ｃ、Ａをとり、Ｃを中心としてＡを通る円を描く。

　もし、この円が横軸と２点Ｐ、Ｑで交われば、Ｐ、Ｑの横座標は、与えられた方程式の２つの
実根を表わす。(Ｐ、Ｑが一致するときは、実の等根)

また、もし、この円が横軸と交わらないならば、与えられた方程式は二つの虚根をもつ。この
場合には、円の中心Cから横軸に下した垂線の足Ｋの横座標をαとし、Ｋから円に引いた接
線ＫＴの長さをβとすれば、２根は、α±βi で与えられる。

　この解法の正しいことを証明せよ。

（出典） 京都大学（1954年）

補足：i は虚数単位、等根は重解、実根は実数解、虚根は虚数解のこと。
































（答）　Ｃを中心としてＡを通る円の方程式は、

　（ｘ＋ｂ/(２ａ)）²＋（ｙ−(ｃ＋ａ)/(２ａ)）²＝（ｂ²＋（ｃ−ａ）²）/(４ａ²)

ここで、ｙ＝０ とおくと、　（ｘ＋ｂ/(２ａ)）²＝（ｂ²−４ａｃ）/(４ａ²)

　展開して整理すると、２次方程式 ｘ²＋（ｂ/ａ）ｘ＝−ｃ/ａ　すなわち、ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０ が得
られる。

この円が横軸と２点Ｐ、Ｑで交われば、ｂ²−４ａｃ＞０ で、ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０ の根は、

　ｘ＋ｂ/(２ａ)＝±√（ｂ²−４ａｃ）/(２ａ)　すなわち、ｘ＝（−ｂ±√（ｂ²−４ａｃ））/(２ａ)

これは、与えられた方程式の２つの実根を表わす。

　特に、ｂ²−４ａｃ＝０ のときは、Ｐ、Ｑが一致し、実の等根 −ｂ/(２ａ) を得る。

この円が横軸と交わらないときは、ｂ²−４ａｃ＜０ で、ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０ の虚根は、

　ｘ＝（−ｂ±ｉ・√（４ａｃ−ｂ²））/(２ａ)＝（−ｂ/(２ａ) ）±ｉ・（√（４ａｃ−ｂ²））/(２ａ)）

で与えられる。

　円の中心Cから横軸に下した垂線の足Ｋの横座標は、α＝−ｂ/(２ａ) で、Ｋから円に引い
た接線ＫＴの長さをβとすれば、方べきの定理より、

β²＝（(ｃ＋ａ)/(２ａ)−√（ｂ²＋（ｃ−ａ）²）/(２ａ)）（(ｃ＋ａ)/(２ａ)＋√（ｂ²＋（ｃ−ａ）²）/(２ａ)）

＝(ｃ＋ａ)²/(４ａ²)−（ｂ²＋（ｃ−ａ）²）/(４ａ²)＝（４ａｃ−ｂ²））/(２ａ)

から、　β＝√（４ａｃ−ｂ²））/(２ａ)　となる。

　以上から、２虚根は、α±βi で与えられる。