当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和５年３月１１日付け）
次の問いに答えよ。
１． a は実数で、x の３次方程式 x3＋x2−x＋a＝０ は、cosθ＋i・sinθ (０＜θ＜π/2)
なる虚根をもつという。このとき、次の各問に答えよ。
(1) θの値はいくらか。
(2) ａ の値を求め、またこの３次方程式を解け。
（出典） 九州大学前期文系(1964) ※虚根とは、虚数解のこと。
２． p、q を実数、q≠0 とする。p＋qi ( i＝√-1 は虚数単位) が方程式 x3＋ｐｘ＋１０＝０
の解であるとき、p と q の値を求めよ。
(出典) 大阪大学前期文系(2000)
（答）１．（１） 題意より、cosθ＋i・sinθが解ならば、cosθ−i・sinθも解である。残りの実数
解をαとおく。解と係数の関係より、
α＋（cosθ＋i・sinθ）＋（cosθ−i・sinθ）＝−１ すなわち、 α＋２cosθ＝−１
また、α（cosθ＋i・sinθ）＋（cosθ＋i・sinθ）（cosθ−i・sinθ）＋α（cosθ−i・sinθ）＝−１
すなわち、 ２αcosθ＝−２ より、 αcosθ＝−１ である。
この式に、α＝−２cosθ−１ を代入して整理すると、 ２cos2θ＋cosθ−１＝０
因数分解して、（２cosθ−１）（cosθ＋１）＝０
ここで、０＜θ＜π/2 なので、cosθ＋１≠０ から、 cosθ＝１/２ よって、θ＝π/３
（２） α＝−２ で、解と係数の関係から、α（cosθ＋i・sinθ）（cosθ−i・sinθ）＝−ａ
すなわち、α＝−ａ なので、 ａ＝−α＝２ となる。
以上から、３次方程式の解は、
−２ 、cos（π/３）＋i・sin（π/３） 、cos（π/３）−i・sin（π/３）
すなわち、 −２ 、１/２＋i・（
/２） 、１/２−i・（/２）２． 題意より、p＋qi が解ならば、p−qi も解である。残りの実数解をαとおく。
解と係数の関係より、 α＋（p＋qi ）＋（p−qi）＝０ すなわち、 α＝−２ｐ
また、α（p＋qi ）＋（p＋qi ）（p−qi）＋α（p−qi ）＝ｐ すなわち、 ２αｐ＋ｐ2＋ｑ2＝ｐ
α＝−２ｐ を代入して整理すると、 ｑ2＝３ｐ2＋ｐ
また、 α（p＋qi ）（p−qi）＝−１０ すなわち、 α（ｐ2＋ｑ2）＝−１０
α＝−２ｐ を代入して整理すると、 ｐ（ｐ2＋ｑ2）＝５
この式に、ｑ2＝３ｐ2＋ｐ を代入して整理すると、 ４ｐ3＋ｐ2−５＝０
因数分解して、 （ｐ−１）（４ｐ2＋５ｐ＋５）＝０
ｐは実数より、 ４ｐ2＋５ｐ＋５≠０ なので、 ｐ＝１
このとき、 ｑ2＝４ より、 ｑ＝±２ （終）
以下、工事中！