当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和４年９月２日付け）
ｙ＝arctan(ｘ) について、次の等式を証明せよ。
(1) y^(n)＝(n-1)!sin(ny+nπ/2)(cos(y))^n＝(n-1)!sin(n×arctan(x)+nπ/2)(1+x^2)^(-n/2)
(2) (1/(1+x^2))^(n)＝n!sin{(n+1)(arctan(x)+π/2)}(1+x^2)^(-(n+1)/2)
（答） (1) ｙ＝arctan(ｘ) すなわち、 ｘ＝tan(ｙ) なので、
ｙ^(1)＝ｄｙ/ｄｘ＝１/（ｄｘ/ｄｙ）＝cos2(ｙ)
また、ｙ^(2)＝ｄ2ｙ/ｄ2ｘ＝ｄ（cos2(ｙ))/ｄｘ・（ｄｙ/ｄｘ）＝−２sin(ｙ)cos3(ｙ)
ここで、 y^(n)＝(n-1)!sin(ny+nπ/2)cosn(y) であることを数学的帰納法により示す。
ｎ＝１のとき、 左辺＝ｙ^(1)＝cos2(ｙ)
右辺＝sin(y+π/2)(cos(y))＝cos2(ｙ)
よって、左辺＝右辺 で、ｎ＝１のとき、命題は成り立つ。
ｎ＝２のとき、 左辺＝ｙ^(2)＝−２sin(ｙ)cos3(ｙ)
右辺＝sin(2y+π)(cos2(y))＝−sin(2y)(cos2(y))＝−２sin(ｙ)cos3(ｙ)
よって、左辺＝右辺 で、ｎ＝２のとき、命題は成り立つ。
ｎ＝ｋ（ｋは自然数）のとき、命題が成り立つと仮定する。すなわち、
y^(k)＝(k-1)!sin(ky+kπ/2)cosk(y)
このとき、
y^(k+1)＝ｄ（(ｋ-1)!sin(ky+kπ/2)cosk(y)）/ｄｙ・（ｄｙ/ｄｘ）
＝(ｋ-1)!（kcos(ky+kπ/2)cosk(y)+sin(ky+kπ/2)・kcosk-1(y)(−sin(ｙ))・cos2(ｙ)
＝ｋ!（cos(ky+kπ/2)cos2(ｙ)−sin(ky+kπ/2)・cos(y)sin(ｙ)）cosk(y)
この右辺が、k!sin((k+1)y+(k+1)π/2)cosk+1(y) に等しいことを示せばよい。
すなわち、 cos(ky+kπ/2)cos2(ｙ)−sin(ky+kπ/2)・cos(y)sin(ｙ)＝sin((k+1)y+(k+1)π/2)cos(y)
が成り立つことを示す。
左辺−右辺
＝cos(ky+kπ/2)cos2(ｙ)−sin(ky+kπ/2)cos(y)sin(ｙ)−sin((k+1)y+(k+1)π/2)cos(y)
＝cos(ky+kπ/2)cos2(ｙ)−sin(ky+kπ/2)cos(y)sin(ｙ)−cos((k+1)y+kπ/2)cos(y)
＝cos(ky+kπ/2)cos2(ｙ)−sin(ky+kπ/2)cos(y)sin(ｙ)−cos(ky+kπ/2)cos2(y)+sin(ky+kπ/2)cos(y)sin(ｙ)
＝cos(ky+kπ/2)cos2(ｙ)−cos(ky+kπ/2)cos2(y)
＝０
よって、命題は、ｎ＝ｋ＋１のときも成立する。
以上から、全ての自然数ｎに対して、命題は成立する。
すなわち、 y^(ｎ)＝(ｎ-1)!sin(ｎy+ｎπ/2)cosｎ(y) が成り立つ。
また、 y^(ｎ)＝(ｎ-1)!sin(ｎy+ｎπ/2)cosｎ(y) において、
ｙ＝arctan(x) 、cos2(ｙ)＝１/（１＋tan2(ｙ)）＝１/（１＋ｘ2）を代入して、
y^(ｎ)＝(ｎ-1)!sin(ｎ×arctan(x)+ｎπ/2)（１＋ｘ2）-n/2
が成り立つ。
(2) ｙ^(1)＝ｄｙ/ｄｘ＝１/（ｄｘ/ｄｙ）＝cos2(ｙ)＝１/（１＋tan2(ｙ)）＝１/（１＋ｘ2） なので、
（１/（１＋ｘ2））^(ｎ)＝ｙ^(ｎ+1)＝ｎ!sin(（ｎ+1)y+(ｎ+1)π/2)cosｎ+1(y)
すなわち、
（１/（１＋ｘ2））^(ｎ)＝ｎ!sin(（ｎ+1)(arctan(x)+π/2))（１＋ｘ2）-(n+1)/2 （終）
以下、工事中！