当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「りらひい」さんからの出題です。
（令和４年４月７日付け）
[1] △ABCの各辺(延長線を含む)上にない点Oをとると、
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB) = 1
が成り立つことを証明してください。
[2] △ABCの各頂点を通らず、かつ、各辺と平行でない直線Ｌをとり、直線Ｌと直線BC、直
線CA、直線ABの交点をそれぞれP、Q、Rとすると、
(sin∠ABQ / sin∠QBC) * (sin∠BCR / sin∠RCA) * (sin∠CAP / sin∠PAB) = 1
が成り立つことを証明してください。
（答）[1] △ＯＡＢ、△ＯＢＣ、△ＯＣＡの高さに着目して、
ＯＡsin∠OAB＝ＯＢ・sin∠ABO、ＯＢ・sin∠OBC＝ＯＣ・sin∠BCO、ＯＣsin∠OCA＝ＯＡ・sin∠CAO
これより、 sin∠ABO / sin∠OAB＝ＯＡ/ＯＢ、sin∠BCO / sin∠OBC＝ＯＢ/ＯＣ、
sin∠CAO/ sin∠OCA ＝ＯＣ/ＯＡ なので、
（sin∠ABO / sin∠OAB）（sin∠BCO / sin∠OBC）（sin∠CAO/ sin∠OCA ）
＝（ＯＡ/ＯＢ）（ＯＢ/ＯＣ）（ＯＣ/ＯＡ）＝１
よって、 （sin∠ABO / sin∠OBC）（sin∠BCO / sin∠OCA）（sin∠CAO/ sin∠OAB ）＝１
[2] △ＱＡＢ、△ＱＢＣ、△ＲＢＣ、△ＲＣＡ、△ＰＣＡ、△ＰＡＢの高さに着目して、
ＱＢsin∠ABQ＝ＱＡsinＡ、ＱＢsin∠QBC＝ＱＣsinＣ、ＲＣsin∠BCR＝ＲＢsinＢ、
ＲＣsin∠RCA＝ＲＡsinＡ、ＰＡsin∠CAP＝ＰＣsinＣ、ＰＡsin∠PAB＝ＰＢsinＢ
このとき、
(sin∠ABQ / sin∠QBC)(sin∠BCR / sin∠RCA)(sin∠CAP / sin∠PAB)
＝（ＱＡsinＡ/ＱＢ）（ＱＢ/ＱＣsinＣ）（ＲＢsinＢ/ＲＣ）（ＲＣ/ＲＡsinＡ）（ＰＣsinＣ/ＰＡ）（ＰＡ/ＰＢsinＢ）
＝（ＲＢ/ＲＡ）（ＱＡ/ＱＣ）（ＰＣ/ＰＢ）
ここで、△ＡＢＣにおいて、メネラウスの定理より、 （ＲＢ/ＲＡ）（ＱＡ/ＱＣ）（ＰＣ/ＰＢ）＝１
よって、 (sin∠ABQ / sin∠QBC)(sin∠BCR / sin∠RCA)(sin∠CAP / sin∠PAB)＝１
出題者のりらひいさんから解答をいただきました。（令和４年４月１０日付け）
[1] （解その１）
点Oから三角形ABCの辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢへおろした垂線の足をそれぞれD、E、Fとすると、
(sin∠ABO / sin∠OBC)(sin∠BCO / sin∠OCA)(sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((OF/OB) / (OD/OB))((OD/OC) / (OE/OC))((OE/OA) / (OF/OA)) = 1
（解その２）
正弦定理を使うと、
(sin∠ABO / sin∠OBC)(sin∠BCO / sin∠OCA)(sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((（AO/AB）sin∠AOB) / (（OC/BC）sin∠BOC))((（BO/BC）sin∠BOC) / (（OA/CA）sin∠COA))
*((（CO/CA）sin∠COA) / (（OB/AB）sin∠AOB)) = 1
（解その３）
(sin∠ABO / sin∠OBC)(sin∠BCO / sin∠OCA)(sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((（1/2）AB・BOsin∠ABO) / (（1/2）OB・BCsin∠OBC))((（1/2）BC・COsin∠BCO) / (（1/2）OC・CAsin∠OCA))
*((（1/2）CA・AOsin∠CAO) / (（1/2）OA・ABsin∠OAB))
= (△ABO / △OBC) * (△BCO / △OCA) * (△CAO / △OAB) = 1
[2] （解その１）
∠ABQ=∠RBQ または ∠ABQ+∠RBQ=π のいずれかが成り立つことと正弦定理より
sin∠ABQ = sin∠RBQ = （QR/BQ）sin∠BRQ が成り立つ。同様にして、
sin∠QBC = sin∠QBP = （PQ/BQ）sin∠BPQ
sin∠BCR = sin∠PCR = （RP/CR）sin∠CPR
sin∠RCA = sin∠RCQ = （QR/CR）sin∠CQR
sin∠CAP = sin∠QAP = （PQ/AP）sin∠AQP
sin∠PAB = sin∠PAR = （RP/AP）sin∠ARP が成り立つ。
また、∠BPQ=∠CPR または ∠BPQ+∠CPR=π のいずれかが成り立つことなどから、
sin∠BPQ = sin∠CPR 、sin∠CQR = sin∠AQP 、sin∠ARP = sin∠BRQ
もわかる。よって、
(sin∠ABQ / sin∠QBC)(sin∠BCR / sin∠RCA)(sin∠CAP / sin∠PAB)
= (sin∠RBQ / sin∠QBP)(sin∠PCR / sin∠RCQ)(sin∠QAP / sin∠PAR)
= ((（QR/BQ）sin∠BRQ) / (（PQ/BQ）sin∠BPQ))((（RP/CR）sin∠CPR) / (（QR/CR）sin∠CQR))
*((（PQ/AP）sin∠AQP) / (（RP/AP）sin∠ARP))
= (sin∠BRQ・sin∠CPR・sin∠AQP) / (sin∠BPQ・sin∠CQR・sin∠ARP) = 1
（解その２）
[1]より、
(sin∠ABQ / sin∠QBP)(sin∠BPQ / sin∠QPA)(sin∠PAQ / sin∠QAB) = 1 …[あ]
(sin∠ACR / sin∠RCP)(sin∠CPR / sin∠RPA)(sin∠PAR / sin∠RAC) = 1 …[い]
が成り立つ。
また、∠QBC=∠QBP または ∠QBC+∠QBP=π のいずれかが成り立つことなどから、
sin∠QBC = sin∠QBP 、sin∠BCR = sin∠RCP 、sin∠BPQ = sin∠CPR
sin∠QPA = sin∠RPA 、sin∠CAP = sin∠PAQ 、sin∠PAB = sin∠PAR
sin∠QAB = sin∠RAC
が成り立ち、これらを[あ]、[い]に代入して、[あ]÷[い]を計算すると、
(sin∠ABQ / sin∠QBC)(sin∠BCR / sin∠RCA)(sin∠CAP / sin∠PAB) = 1
を得る。
（コメント） いろいろな示し方に感動しました。特に、[1]の（解その３）は神懸っていますね。
とても斬新です！
以下、工事中！