当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和２年１１月２３日付け）
次の方程式を解け。ただし、(1)の e は自然対数の底、i は虚数単位とし、偏角θの範囲
は、-π≦θ≦π とする。
(1) 2={(2isin(π+θ))/(z-e^(iθ))} + {(2isin(π+θ))/(z-e^(iθ+iπ))}
+ {((2sin(π+θ))^2 + 2isin(π+2θ))/(z^2+e^(iπ+2iθ))}
(2) 2={(i/(z-(√3 -i)/2)} + {(i/(z-(-√3 +i)/2)} + {(1+√3 i)/(z^2+(-1+√3 i)/2)}
（答） ＧＡＩ さんが考察されました。（令和２年１１月２３日付け）
(1) e^(iθ)=cos(θ）+ i・sin(θ） 等で式を整理して、
2={(-2i・sinθ)/(z-e^(iθ))} + {(-2i・sinθ)/(z＋e^(iθ))}
+ {((-2sinθ)^2−2i・sin2θ)/(z^2-e^(2iθ))}
2(z^2-e^(2iθ))=-2i・sinθ・(2z)＋(-2sinθ)^2−2i・sin2θ
z^2-e^(2iθ)=-2i・sinθ・z＋2(sinθ)^2−i・sin2θ より、
z^2-cos2θ- i・sin(2θ）=-2i・sinθ・z＋2(sinθ)^2−i・sin2θ
z^2-1 + 2(ｓｉｎθ)^2- i・sin(2θ）={(-2i・sinθ)(z)}+ 2(sinθ)^2−i・sin2θ
z^2＋2・sinθ・z・i−1=0
z=x＋y・i (x、y∈R) とおいて、
x^2-y^2-2・sin(θ)・y-1+2x(y+sin(θ))・i=0
よって、 x^2-y^2-2・sin(θ)・y-1=0 かつ x(y+sin(θ))=0
ｘ=0 の時、y^2＋2・sin(θ)・y＋1=0 で、sin^2(θ)-1<0 より、yは実数になれないので、
不適
y=-sin(θ) のとき、x^2-y^2-2*sin(θ)*y-1=0 に代入して、x=cos(θ) （∵cos(θ)>0)
以上から、 z=cos(θ)-sin(θ)・i
(2) θ=-π/6 は条件式を満たす。(1)の結果より、 z=√3/2＋i/2
（コメント） sin^2(θ)-1=0 や cos(θ)＜0 の場合はないのかな？
また、z^2＋2・sinθ・z・i−1=0 において、解の公式から、
ｚ＝±ｃｏｓθ−ｉ・ｓｉｎθ
ここで、 ｚ≠−e^(iθ) から、ｚ＝−ｃｏｓθ−ｉ・ｓｉｎθ は不適となり、
ｚ＝ｃｏｓθ−ｉ・ｓｉｎθ とするのかな？