当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和２年８月１日付け）
問題 方程式 x^3+ax^2+bx+15=0 の３つの解を適当に並べると、等差数列になっていると
いう。1つの解が−３であるとして、可能な a、b の値をすべて求めよ。
（出典： 関西学院大学（1976年））
（答） らすかるさんが考察されました。（令和２年８月１日付け）
−３以外の２解をα、βとすると、解と係数の関係から、αβ＝(−15)/(−３)＝５
等差数列の公差が０のとき、αβ＝９ となり不適なので、α＜βとしてよい。
α＜β＜−３ のとき、αβ＞９ なので不適
α＜−３＜β のとき、α+β＝−６ なので、α＝−５、β＝−１
このとき、a＝-(α＋β＋(−３))＝９、b＝αβ＋(−３)(α＋β)＝２３
−３＜α＜β のとき、β−３＝２α から、 (α，β)＝(１，５)、(−５/２，２)
(α，β)＝(１，５) のとき、 a＝−(α＋β＋(−３))＝−３、b＝αβ＋(−３)(α＋β)＝−１３
(α，β)＝(−５/２，−２) のとき、
a＝−(α＋β＋(−３))＝１５/２、b＝=αβ＋(−３)(α＋β)＝３７/２
従って、可能な a、b の値は、 (a，b)＝(９，２３)、(−３，−１３)、(１５/２，３７/２)
（コメント） 別解を考えてみました。（令和２年８月５日付け）
方程式 x3＋ax2＋bx＋１５＝０ の３つの解を、α−ｄ、α、α＋ｄ とおくと、
解と係数の関係により、 ３α＝−ａ 、３α2−ｄ2＝ｂ、α（α2−ｄ2）＝−１５
また、解の一つが−３なので、 ３ａ−ｂ＝４ を得る。
これと、３α＝−ａ 、３α2−ｄ2＝ｂ、α（α2−ｄ2）＝−１５ から、ａ、ｂ、ｄ を消去して、
２α3＋９α2＋４α−１５＝０ すなわち、 （α＋３）（α−１）（２α＋５）＝０
よって、 α＝−３、１、−５/２
α＝−３ のとき、 ａ＝９ 、 ｂ＝２３
α＝１ のとき、 ａ＝−３ 、 ｂ＝−１３
α＝−５/２ のとき、 ａ＝１５/２ 、 ｂ＝３７/２