当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２９年９月２０日付け）
次の等式が成り立つ鋭角θを全て答えなさい。
cosθcos2θcos4θ=1/8
（答） ＧＡＩ さんが考察されました。（平成２９年９月２１日付け）
答えは、θ=s*π/9 または t*π/7
ただし、s、t は、k を自然数として、
s=2k-1 (ただし、s は９で割れないとする)、t=2k （ただし、t は７で割れないとする）
かな？
スモークマンさんからのコメントです。（平成２９年９月２１日付け）
同じようですが…^^、 sinθ*cosθ*cos2θcos4θ=(1/8)sin8θ
ここで、 cosθ*cos2θcos4θ=1/8 より、 (1/8)sin8θ=(1/8)sinθ
よって、 sinθ=sin8θ で、sinθ≠0 から、PCで解くと、
θ=±2π/7、-4π/7、-6π/7 +2π*n =π/9、±5π/9、±7π/9 +2π*n
手計算ではどう考えればいいのかなぁ… ^^;。
ｙ さんからのコメントです。（平成２９年９月２１日付け）
両辺に、sinθ（≠0） を乗じて、倍角公式 sinAcosA=(1/2)sin(2A) を逐次適用する。
sinθcosθcos(2θ)cos(4θ)=(1/8)sinθ
(1/2)sin(2θ)cos(2θ)cos(4θ)=(1/8)sinθ
(1/4)sin(4θ)cos(4θ)=(1/8)sinθ
よって、 sin(8θ)=sinθ
和積公式 sinA-sinB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) から、cos(9θ/2)sin(7θ/2)=0.
よって求めるθは、任意の整数m、ｎについて、 θ=(2m+1)π/9、2nπ/7
となる。特に、θは鋭角なので、θ=π/9、2π/7、π/3
（コメント） なるほど、両辺に sinθを掛けて、倍角の公式を用いるのがポイントですね。