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 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                      (平成29年5月19日付け)

 mn=mn が成り立つ整数の組 (m,n) を答えなさい。ただし、n≠1 とします。







































(答) すぐ思いつくのは、 52=10=5・2 だが、これ以外にあるのかな?

 問題文に「整数」という条件がついているので、気になって調べてみると、例えば、

 −nが負数のときは、

   -n=(−1) (Hは、重複組合せ)

と2項係数が拡張されるらしい。

 実際に、Newtonの2項定理

 (1+x)01x+2233+・・・++・・・+

を意識して、(1+x)-n のTaylor展開を考える。

 F(x)=(1+x)-n の第 r 次導関数は、

 F(r)(x)=(-n)(-n−1)・・・(-n−r+1)(1+x)-n-r

     ={(−1)(n+r−1)!/(n−1)!}(1+x)-n-r

となるので、形式的に係数比較して、

   -n=(−1)(n+r−1)!/(n−1)!r!=(−1)n+r-1=(−1)

となる。

例 -1=(−1)1=(−1)=(−1)

  -2=(−1)2=(−1)r+1=(−1)(r+1)

 なので、 -20=1 、-21=−2 、-22=3


 この拡張された2項係数を用いて、果たして解は求まるのだろうか...。


 GAI さんからのコメントです。(平成29年5月19日付け)

 mn=m*n^r (r=0、1、2、3、・・・) が成り立つ整数の組(m,n) を答えなさい。

 ただし、n≠1 とします。

とすると面白いかも...。