組合せ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２９年５月１９日付け）

　_mＣ_n＝mn　が成り立つ整数の組 (m，n) を答えなさい。ただし、n≠1　とします。







































（答）　すぐ思いつくのは、₅Ｃ₂＝１０＝５・２　だが、これ以外にあるのかな？

　問題文に「整数」という条件がついているので、気になって調べてみると、例えば、

　−ｎが負数のときは、

　　　_-ｎＣ_ｒ＝（−１）^ｒ・_ｎＨ_ｒ　（Ｈは、重複組合せ）

と２項係数が拡張されるらしい。

　実際に、Ｎｅｗｔｏｎの２項定理

　（１＋ｘ）^ｎ＝_ｎＣ₀＋_ｎＣ₁ｘ＋_ｎＣ₂ｘ²＋_ｎＣ₃ｘ³＋・・・＋_ｎＣ_ｒｘ^ｒ＋・・・＋_ｎＣ_ｎｘ^ｎ

を意識して、（１＋ｘ）^-ｎ　のＴａｙｌｏｒ展開を考える。

　Ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ）^-ｎ　の第 ｒ 次導関数は、

　Ｆ^(r)（ｘ）＝（-ｎ）（-ｎ−１）・・・（-ｎ−ｒ＋１）（１＋ｘ）^-ｎ-ｒ

　　　　　＝｛（−１）^ｒ（ｎ＋ｒ−１）！/（ｎ−１）！｝（１＋ｘ）^-ｎ-ｒ

となるので、形式的に係数比較して、

　　　_-ｎＣ_ｒ＝（−１）^ｒ（ｎ＋ｒ−１）！/（ｎ−１）！ｒ！＝（−１）^ｒ・_ｎ+r-1Ｃ_ｒ＝（−１）^ｒ・_ｎＨ_ｒ

となる。

例　_-1Ｃ_ｒ＝（−１）^ｒ・₁Ｈ_ｒ＝（−１）^ｒ・_ｒＣ_ｒ＝（−１）^ｒ

　　_-2Ｃ_ｒ＝（−１）^ｒ・₂Ｈ_ｒ＝（−１）^ｒ・_ｒ+1Ｃ_ｒ＝（−１）^ｒ（ｒ＋１）

　なので、　_-2Ｃ₀＝１　、_-2Ｃ₁＝−２　、_-2Ｃ₂＝３


　この拡張された２項係数を用いて、果たして解は求まるのだろうか．．．。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年５月１９日付け）

　_mＣ_n＝m*n^r　(r=0、1、2、3、･･･)　が成り立つ整数の組(m，n) を答えなさい。

　ただし、n≠1　とします。

とすると面白いかも．．．。