等式　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年４月１８日付け）

　 等式　２^ｎ−７＝（平方数）　を満たす正の整数 ｎ を求めなさい。







































（答）　土筆の子さんが解かれました。（平成２４年４月１８日付け）

　 ｎ＝１から１００まで計算ソフトで計算させると、以下がありました。

　　ｎ＝３　のとき、　２³−７＝１＝１²

　　ｎ＝４　のとき、　２⁴−７＝９＝３²

　　ｎ＝５　のとき、　２⁵−７＝２５＝５²

　　ｎ＝７　のとき、　２⁷−７＝１２１＝１１²

　　ｎ＝１５　のとき、　２¹⁵−７＝３２７６１＝１８１²


　空舟さんからのコメントです。（平成２４年４月１９日付け）

　ｎ が偶数の時は、２^ｎ が平方数となるので、２^ｎ＝A² とかけば、A²＝B²＋７ より、

A＋B＝７、A−B＝１ に限る(要するに、ｎ＝４ のみ)と分かります。

　ｎ が奇数の時について、一般には結構難しそうで、分かりません。

　方程式　２A²＝B²＋７　の解は(一種のペル方程式です)、

　(１＋)^ｋ＝ａ＋ｂ　によって、　A＝２ａ±ｂ、　B＝４ｂ±ａ　で構成できます。

そこで、A=２ａ±ｂ　が２のべき乗の形なら解を得られることになります。

　ｋ＝１　→　ａ＝１、ｂ＝１　→　A＝１　で、ｎ＝３　の解

　ｋ＝２　→　ａ＝３、ｂ＝２　→　A＝４、８　で、ｎ＝５、７　の解

　ｋ＝６　→　ａ＝９９、ｂ＝７０　→　A＝１２８　で、ｎ＝１５　の解

　これら以外で解が存在するかについて気になります。

　ａ、ｂ を適当な数 ｐ で割った余りは、ｋ を大きくすれば循環します。

　２¹⁶＝６５５３６　で割った余り(mod ６５５３６)について調べると、

　　２ａ−ｂ≡０　⇔　ｋ≡５９５２６　、２ａ＋ｂ≡０　⇔　ｋ≡６５５３５

　従って、他の解があるとすれば少なくとも ｋ＝５９５２６以上です。

　(１＋)^ｋ の実数部を大雑把に評価すると、{(１＋)^ｋ＋(１−)^ｋ}/２ ＞ ２^k-1 なので、

そうすると、少なくとも A＞２⁵⁹⁵²⁶、つまり、ｎ＞２・５９５２６　とかいうことになると思います。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２４年４月１９日付け）

　答えが、「A060728」および「A038198」にあります。証明はわかりませんが、KEYWORDに
「fini」と「full」がありますので、ｎ＝３、４、５、７、１５ で全てということになりますね。


　よおすけさんからのコメントです。（平成２４年４月１９日付け）

　土筆の子さん、空舟さん、ありがとうございます。自分も、ｎ＝３、４、５、７ までは調べまし
たが、ｎ＝１５でも成り立つことは知りませんでした。

　とりあえず、解答としましては、ｎ＝１、２のとき、それぞれ ２¹＝２、２²＝４ なので、７より
小さいので不適。ｎ＝３のとき、２³＝８ で、これから７を引けば１、１は２乗しても１なので、
これは平方数であるため成り立つ。同様にやっていけば、ｎ≧３ のとき、
　ｎが偶数の場合　４
　ｎが奇数の場合　３、５、７、１５、・・・・

　らすかるさん、ありがとうございます。僕も満たす数はそんなに多くないと思っていました...。