等式                                     戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                      (平成24年4月18日付け)

  等式 2−7=(平方数) を満たす正の整数 n を求めなさい。







































(答) 土筆の子さんが解かれました。(平成24年4月18日付け)

  n=1から100まで計算ソフトで計算させると、以下がありました。

  n=3 のとき、 23−7=1=12

  n=4 のとき、 24−7=9=32

  n=5 のとき、 25−7=25=52

  n=7 のとき、 27−7=121=112

  n=15 のとき、 215−7=32761=1812


 空舟さんからのコメントです。(平成24年4月19日付け)

 n が偶数の時は、2 が平方数となるので、2=A2 とかけば、A2=B2+7 より、

A+B=7、A−B=1 に限る(要するに、n=4 のみ)と分かります。

 n が奇数の時について、一般には結構難しそうで、分かりません。

 方程式 2A2=B2+7 の解は(一種のペル方程式です)、

 (1+)=a+b によって、 A=2a±b、 B=4b±a で構成できます。

そこで、A=2a±b が2のべき乗の形なら解を得られることになります。

 k=1 → a=1、b=1 → A=1 で、n=3 の解

 k=2 → a=3、b=2 → A=4、8 で、n=5、7 の解

 k=6 → a=99、b=70 → A=128 で、n=15 の解

 これら以外で解が存在するかについて気になります。

 a、b を適当な数 p で割った余りは、k を大きくすれば循環します。

 216=65536 で割った余り(mod 65536)について調べると、

  2a−b≡0 ⇔ k≡59526 、2a+b≡0 ⇔ k≡65535

 従って、他の解があるとすれば少なくとも k=59526以上です。

 (1+) の実数部を大雑把に評価すると、{(1+)+(1−)}/2 > 2k-1 なので、

そうすると、少なくとも A>259526、つまり、n>2・59526 とかいうことになると思います。


 らすかるさんからのコメントです。(平成24年4月19日付け)

 答えが、「A060728」および「A038198」にあります。証明はわかりませんが、KEYWORDに
「fini」と「full」がありますので、n=3、4、5、7、15 で全てということになりますね。


 よおすけさんからのコメントです。(平成24年4月19日付け)

 土筆の子さん、空舟さん、ありがとうございます。自分も、n=3、4、5、7 までは調べまし
たが、n=15でも成り立つことは知りませんでした。

 とりあえず、解答としましては、n=1、2のとき、それぞれ 21=2、22=4 なので、7より
小さいので不適。n=3のとき、23=8 で、これから7を引けば1、1は2乗しても1なので、
これは平方数であるため成り立つ。同様にやっていけば、n≧3 のとき、
 nが偶数の場合 4
 nが奇数の場合 3、5、7、15、・・・・

 らすかるさん、ありがとうございます。僕も満たす数はそんなに多くないと思っていました...。