方程式の係数の大小　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２８年６月１日付け）

　a、b、c、d を正の実数、x を未知数とする方程式 x⁴-4ax³+6b²x²-4c³x+d⁴=0 が、相異な
る4つの正の実数解をもつならば、　a＞b＞c＞d　であることを証明せよ。






































（答）　DD++さんが考察されました。（平成２８年６月１日付け）

　方程式の解を p、q、r、s （＞0） とすると、解と係数の関係と相加相乗平均の大小関係よ
り、
　　c³ = (pqr+qrs+rsp+spq)/4 ≧ (pqrs)^(3/4) = d³

　よって、　c＞d

　ロルの定理より、両辺を微分して4で割った　x³-3ax²+3b²x-c³ = 0　は、３つの正数解を
持つので、同様に、　b＞c

　さらに微分して、同様に、　a＞b　より、　a＞b＞c＞d　である。


　Seiichi　Manyamaさんからのコメントです。（平成２８年６月２日付け）

　一般化できるのでしょうか？


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年６月２日付け）

　できると思います。

　a[k] が全て正の数で、

xⁿ - n a[1] x^n-1 + n(n-1)/2 a[2]² x^n-2- … + (-1)^k _nC_k a[k]^k x^n-k + …… + (-1)ⁿ a[n]ⁿ = 0

がn個の異なる正の実数解を持つとき、a[1]＞a[2]＞…＞a[n]

　ロルの定理、解と係数の関係、相加相乗平均の大小関係を使って帰納的に示せるはず。