方程式の係数の大小                         戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんからの出題です。
                                       (平成28年6月1日付け)

 a、b、c、d を正の実数、x を未知数とする方程式 x4-4ax3+6b2x2-4c3x+d4=0 が、相異な
る4つの正の実数解をもつならば、 a>b>c>d であることを証明せよ。






































(答) DD++さんが考察されました。(平成28年6月1日付け)

 方程式の解を p、q、r、s (>0) とすると、解と係数の関係と相加相乗平均の大小関係よ
り、
  c3 = (pqr+qrs+rsp+spq)/4 ≧ (pqrs)^(3/4) = d3

 よって、 c>d

 ロルの定理より、両辺を微分して4で割った x3-3ax2+3b2x-c3 = 0 は、3つの正数解を
持つので、同様に、 b>c

 さらに微分して、同様に、 a>b より、 a>b>c>d である。


 Seiichi Manyamaさんからのコメントです。(平成28年6月2日付け)

 一般化できるのでしょうか?


 DD++さんからのコメントです。(平成28年6月2日付け)

 できると思います。

 a[k] が全て正の数で、

xn - n a[1] xn-1 + n(n-1)/2 a[2]2 xn-2- … + (-1)k nCk a[k]k xn-k + …… + (-1)n a[n]n = 0

がn個の異なる正の実数解を持つとき、a[1]>a[2]>…>a[n]

 ロルの定理、解と係数の関係、相加相乗平均の大小関係を使って帰納的に示せるはず。