当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２７年５月３１日付け）
次の方程式の正の整数解(a，b)を全て求めて下さい。
LCM(a，b)+GCD(a，b)+2a+3b=ab
ただし、LCM(a，b)、GCD(a，b)は、aとbの最小公倍数と最大公約数を表す。
（答） Ｓ（Ｈ）さんが考察されました。（平成２７年５月３１日付け）
(a，b)=(5，15)、(6，15)、(7，7)、(8，18)、(10，5)、(16，4)、(20，6)
らすかるさんが考察されました。（平成２７年５月３１日付け）
a=cg、b=dg （cとdは互いに素な自然数）とすると、cdg+g+2cg+3dg=cdg2 より、
cd+1+2c+3d=cdg すなわち、(g-1)cd-2c-3d-1=0 これを見やすくするために、h=g-1とおくと、
cdh-2c-3d-1=0 … (1)
両辺をh倍して、 cdh2-2ch-3dh-h=0 より、 (ch-3)(dh-2)=h+6
(h-3)(h-2)＞h+6 を解くと、h＞6 なので（∵h≧0）、解が存在する可能性があるhの範囲は、
0≦h≦6 しかし、(1)から、cdh=2c+3d+1なので、h=0 は不適
h=1（すなわちg=2）のとき、(c-3)(d-2)=7 から、(c，d)=(4，9)、(10，3) なので、
(a，b)=(8，18)、(20，6) が解
h=2（すなわちg=3）のとき、(2c-3)(2d-2)=8 から、(c，d)=(2，5) なので、
(a，b)=(6，15) が解
h=3（すなわちg=4）のとき、(3c-3)(3d-2)=9 から、(c，d)=(4，1) なので、
(a，b)=(16，4) が解
h=4（すなわちg=5）のとき、(4c-3)(4d-2)=10 から、(c，d)=(1，3)、(2，1) なので、
(a，b)=(5，15)、(10，5) が解
h=5（すなわちg=6）のとき、(5c-3)(5d-2)=11 から解なし
h=6（すなわちg=7）のとき、(6c-3)(6d-2)=12 から、(c，d)=(1，1)なので、(a，b)=(7，7) が解
よって、解をまとめると、 (a，b)=(5，15)、(6，15)、(7，7)、(8，18)、(10，5)、(16，4)、(20，6)