解と係数の関係2
当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
(平成27年5月23日付け)
a、b、cを正の整数とします。2次方程式 ax2+bx+c=0 の2つの解をα、βとするとき、
α2+β2=1となるようなa、b、cの組(a,b,c)の一例を挙げなさい。
(答) DD++さんが考察されました。(平成27年5月23日付け)
k、m、n を 「m>n かつ mとnは互いに素、かつ、mnは偶数」を満たす自然数として、
a=2kn2、b=2kmn、c=km2-kn2 または、a=k(m-n)2、b=km2-kn2, c=2kmn
で全解でしょうか。
exさんが考察されました。(平成27年5月23日付け)
a=3、b=9、c=12 とすると、α+β=-3、αβ=4 なので、α2+β2=(α+β)2-2αβ=9-8=1
a=2、b=6、c=8 とすると、α+β=-3、αβ=4 なので、α2+β2=(α+β)2-2αβ=9-8=1
よおすけさんからのコメントです。(平成27年5月23日付け)
他には、(a、b、c)=(9、21、20) などがあります。
S(H)さんからのコメントです。(平成27年5月23日付け)
c=3 なら、a=2、b=4
c=69 なら、(a,b)=(46,92)、(200,260)、(726,792)、(2312,2380)