当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２７年５月２０日付け）
ｘ、ｙに関する1次以上の多項式f(ｘ，ｙ)で、
f(ｘ，ｙ)+f(ｙ，ｘ)=0 、f(ｘ，ｘ＋ｙ)+f(ｙ，ｘ＋ｙ)=0
の条件を満たすものの具体的関数f(ｘ，ｙ)の式を見つけて下さい。
（答） りらひいさんが考察されました。（平成２７年５月２３日付け）
P(x，y)=xy(x-y) とおくと、P(x，y)=-P(y，x) および P(x，x+y)=P(y，x+y) をみたす。
Q(x，y)=(x+y)(x-2y)(2x-y) とおくと、Q(x，y)=Q(y，x) および Q(x，x+y)=-Q(y，x+y) をみたす。
R(x，y)=x2-xy+y2 とおくと、R(x，y)=R(y，x) および R(x，x+y)=R(y，x+y) をみたす。
よって、P(x，y)の奇数乗とQ(x，y)の奇数乗とR(x，y)の整数乗を掛け合わせたものの線形結
合なら、f(x，y)の条件を満たす。
つまり、c[l,m,n] (l,m=0,1,2,…,n=0,1,2) を任意の実数として、
f(x，y)=Σ[l,m,n] c[l,m,n]P(x，y)2l+1・Q(x，y)2m+1・R(x，y)n
としたとき、この多項式は、f(x，y)の一例になっている。
＃P(x，y)2とQ(x，y)2とR(x，y)3は線形従属なので、n=0,1,2,… ではなく、n=0,1,2 だけで十分。
この例はてきとうに探した結果見つけたものなので、このほかにも存在しているかどうかは
わかりません。
※一番簡単なのは、l=m=n=0のとき、c[0,0,0]=1、l>0またはm>0またはn>0のとき、c[l,m,n]=0
としたときで、 f(x，y)=xy(x-y)(x+y)(x-2y)(2x-y)
（コメント） 私も試行錯誤で、P(x，y)=xy(x-y) を思いつきましたが、P(x，x+y)+P(y，x+y)=0
にならず、挫折しました。なるほど、いろいろな性質を持つ関数の合わせ技で解決
するんですね！勉強になりました。