当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２７年２月１３日付け）
G先生が、２つの方程式の共通解を求めようと解いている最中、お茶を以下のようにこぼ
してしまい、頭を抱えてしまいました。G先生になったつもりで解いてみて下さい。
３次方程式 x3＋９x2///////＝０ 、４次方程式 ｘ4−１０４０x/////＝０
（答） x3＋９x2＋ａｘ＋ｂ＝０ 、ｘ4−１０４０x＋ｃ＝０ として、共通解を持つので、
ｘ4−x3−９x2−（ａ＋１０４０）x−ｂ＋ｃ＝０
この４つの解 α、β、γ、δについて、解と係数の関係から、
α＋β＋γ＋δ＝１ 、 αβ＋αγ＋αδ＋βγ＋βδ＋γδ＝−９
これらを満たす α、β、γ、δをとりあえず見つければいいのかな？
α＝４、β＝−１、γ＝−１、δ＝−１ とすれば、条件を満たす。このとき、
（ｘ−４）（ｘ＋１）3＝０ から、ｘ4−x3−９x2−１１x−４＝０
よって、 ａ＋１０４０＝１１ から、 ａ＝−１０２９ 、ｂ−ｃ＝４ となる。
共通解が−１のとき、 −ａ＋ｂ＝−８ より、 ｂ＝−１０３７
１０４１＋ｃ＝０ より、 ｃ＝−１０４１
共通解が４のとき、 ４ａ＋ｂ＝−１００ より、 ｂ＝４０１６
ｂ−ｃ＝４ より、 ｃ＝４０１２
という感じでいいのかな？
ａ＝−１０２９、ｂ＝−１０３７、ｃ＝−１０４１ のとき、
x3＋９x2−１０２９ｘ−１０３７＝０ 、ｘ4−１０４０x−１０４１＝０ より、
（ｘ＋１）（x2＋８ｘ−１０３７）＝０ 、（ｘ＋１）（x3−x2＋ｘ−１０４１）＝０
ａ＝−１０２９、ｂ＝４０１６、ｃ＝４０１２ のとき、
x3＋９x2−１０２９ｘ＋４０１６＝０ は、４を解に持たないので、不適。
以上から、 ａ＝−１０２９、ｂ＝−１０３７、ｃ＝−１０４１ のときのみ共通解を持つ。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２７年２月１４日付け）
自己責任なので、零した液体を懸命に拭い去り、なんとか讀めるところまで漕ぎ着けた。
x3＋９x2−１０２９ｘ＋////＝０ 、 ｘ4−１０４０x＋////＝０
G先生になったつもりで解いてみて下さい。【惨事】に至った３次の方のみ大半が復活した。
４次の方ももう一息で復活可能ですが、それを云っちゃあ、問題にならぬので云いません。
（コメント） −５０〜５０の範囲で探索したところ、α＝４、β＝−１、γ＝−１、δ＝−１ 以
外に、α＝３、β＝１、γ＝０、δ＝−３ も条件を満たす。このとき、
ｘ（ｘ−３）（ｘ＋３）（ｘ−１）＝０ から、ｘ4−x3−９x2＋９x＝０
よって、 ａ＋１０４０＝−９ から、 ａ＝−１０４９ 、ｂ−ｃ＝０ となる。
共通解が０のとき、 ｂ＝ｃ＝０ で、x3＋９x2−１０４９ｘ＝０ 、ｘ4−１０４０x＝０
よって、ａ＝−１０４９ 、ｂ＝ｃ＝０ のとき、共通解を持つ。
共通解が３のとき、 ３ａ＋ｂ＝−１０８ より、 ｂ＝ｃ＝３１４７−１０８＝３０３９
方程式は、 x3＋９x2−１０４９ｘ＋３０３９＝０ 、ｘ4−１０４０x＋３０３９＝０ より、
（ｘ−３）（x2＋１２ｘ−１０１３）＝０ 、（ｘ−３）（x3＋３x2＋９ｘ−１０１３）＝０
よって、ａ＝−１０４９ 、ｂ＝ｃ＝３０３９ のとき、共通解を持つ。
共通解が−３のとき、 ３ａ−ｂ＝５４ より、 ｂ＝ｃ＝−３１４７−５４＝−３２０１
方程式は、 x3＋９x2−１０４９ｘ−３２０１＝０ 、ｘ4−１０４０x−３２０１＝０ より、
（ｘ＋３）（x2＋６ｘ−１０６７）＝０ 、（ｘ＋３）（x3−３x2＋９ｘ−１０６７）＝０
よって、ａ＝−１０４９ 、ｂ＝ｃ＝−３２０１ のとき、共通解を持つ。
共通解が１のとき、 ａ＋ｂ＝−１０ より、 ｂ＝ｃ＝１０４９−１０＝１０３９
方程式は、 x3＋９x2−１０４９ｘ＋１０３９＝０ 、ｘ4−１０４０x＋１０３９＝０ より、
（ｘ−１）（x2＋１０ｘ−１０３９）＝０ 、（ｘ−３）（x3＋x2＋ｘ−１０３９）＝０
よって、ａ＝−１０４９ 、ｂ＝ｃ＝１０３９ のとき、共通解を持つ。
よおすけさんからのコメントです。（平成２７年２月１４日付け）
x3＋９x2＋２７ｘ＋２７＝０ 、ｘ4−１０４０x−３２０１＝０ の場合、共通解は、ｘ＝−３ と
なります。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２７年２月１４日付け）
(ａ，ｂ，ｃ)を幾つか例示すれば、
{-233, 847, 4879}, {-219, -2196, -33216}, {-221, 555, 3039}, {-213, -2124, -33216},
{-220, -2208, -33216}, {12, -18, -3201}
x3＋９x2−１０２９ｘ＋Ａ＝０ 、ｘ4−１０４０x＋Ｂ＝０ とすると、例えば、
(A，B)＝(-1037， -1041) ・・・ 無論、他にも数多在ると五組例示すれば、
{-15262, -484016}, {-15181, -101201}, {-14661, -559521}, {-14085,-66225}, {-11916, -33216}
以下、工事中！