変則連立方程式                             戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんからの出題です。
                                        (平成26年8月4日付け)

 次の連立方程式を満たす整数 x、y、z の組をすべて求めて下さい。

2 - 3y - z = -9 、-x + y2 -  5z = -17 、-x - y + z2 = 13





































(答) DCOさんが考察されました。(平成26年8月4日付け)

 3式をそれぞれ足し合わせ、x2-2x+y2-4y+z2-6z=-13 を整理して、 (x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=1
より、解の候補は、 (x,y,z)=(0,2,3)、(2,2,3)、(1,1,3)、(1,3,3)、(1,2,2)、(1,2,4).
 上の解の候補は全て x、y≧0 を満たすので、13=-x-y+z2≦z2 で、zは整数より、|z|≧4 と
なり、これを満たす候補は、(x,y,z)=(1,2,4) だけであり、逆に、これは確かに方程式を満
たす。


 DD++さんからも同様の解答を頂きました。(平成26年8月4日付け)

 3つを足して変形すると、(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=1 となるので、x-1、y-2、z-3 のうち2つは、
0 より、x=1、y=2 のとき、z=4 、x=1、z=3 のときは解なし 、y=2、z=3 のときも解なし
 従って、解は、(x,y,z)=(1,2,4)

※解答書くのに時間かかってたらかぶった…。


 S(H)さんも考察されました。(平成26年8月4日付け)

 I={x^2 - 3*y - z - (-9), -x + y^2 - 5*z - (-17), -x - y + z^2 - 13}
I∩Q[x]={(-1 + x) (-3600 + 4580 x + 186 x^2 + 738 x^3 + 17 x^4 + 37 x^5 +  x^6 + x^7)}
I∩Q[y]={(-2 + y) (-10432 - 744 y + 302 y^2 + 1263 y^3 + 88 y^4 + 72 y^5 +  2 y^6 + y^7)}
I∩Q[z]={(-4 + z) (-8292 - 1742 z + 1980 z^2 + 433 z^3 - 156 z^4 - 36 z^5 +  4 z^6 + z^7)}
で、x=1、y=2、z=3+1 (1、2、3 でなくて残念!)

(別解) 最初の2つの不定方程式の解の例を探して共通の解(1,2,4)を第3式の左辺に代
    入したら、 -x -y + z^2 =13 となるので、解は、(x,y,z)=(1,2,3+1)

(別解) z を消去すると、-5x^2-x+y^2+15y-28=0 、x^4-6yx^2+18x^2-x+9y^2-55y+68=0 、
                y^4-2xy^2+34y^2-25y+x^2-59x-36=0
 これから(x,y)∈Z を探す為、代数曲線達を描き格子点を探して、(x,y)=(1,2) で、答え
は、 (x,y,z)=(1,2,3+1)