当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。（平成２６年６月１２日付け）
皆さんに解いてもらおうと、ノートに計算を書き付け、ある３つの整数解を持つ３次方程式
を立て、さらに、その解を全て含む４次方程式が完成したところで一息入れようと、ミルクを
温めてお盆に入れて運んでいたら、足元にいた猫に蹴躓き、テーブルに置いていたノートの
上にミルクが散乱してしまい、折角完成していた問題が汚れてしまって、一部を残して見え
なくなってしまった。それが、
３次方程式 ｘ3＋5ｘ2/////////////＝０ 、４次方程式 ｘ4＋11ｘ3−4ｘ2///////＝０
”It is no use crying over spilit milk．”と言わず復元してみよう。
（答） DD++さんからのコメントです。（平成２６年６月１２日付け）
ｘ3＋5ｘ2−5ｘ2−ｘ＝０ の解は、ｘ＝−１、０、１で、これらは、４次方程式
ｘ4＋11ｘ3−4ｘ2−11ｘ3＋3ｘ2=0 を満たす．．．．．ダメですか？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年６月１２日付け）
面白い！でも、できたら４次方程式は異なる４つの根にしてみて下さい。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年６月１２日付け）
それなら、 ｘ4＋11ｘ3−4ｘ2−9ｘ3＋3ｘ2−2ｘ＝０ とかすればいいですかね。真面目に解答
すると以下だと思いますが、意外と解くのがめんどくさいですね、これ。
ｘ3＋5ｘ2−34ｘ−80＝(ｘ＋2)(ｘ−5)(ｘ＋8)＝０
ｘ4＋11ｘ3−4ｘ2−284ｘ−480＝(ｘ＋2)(ｘ−5)(ｘ＋8)(ｘ＋6)＝０
ｘ3＋5ｘ2−34ｘ−k が、3つの整数根を持てばいいわけですが、簡単な判断方法はありまし
たか？
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年６月１２日付け）
三次方程式を、ｘ3＋5ｘ2＋ａｘ＋ｂ＝０ 、三次方程式の解でない四次方程式の解を t とす
ると、
(ｘ3＋5ｘ2＋ａｘ＋ｂ)(ｘ−ｔ)＝ｘ4＋(5−t)ｘ3＋(ａ−5ｔ)ｘ2＋(ｂ−ａｔ)ｘ−ｂｔ
四次方程式と係数比較すると、 5−t＝11、ａ−5ｔ＝−4 なので、 t＝−6 、ａ＝−34
f(ｘ)＝ｘ3＋5ｘ2−34ｘ＋ｂ＝０ とすると、f’(x)＝3ｘ2＋10ｘｰ34となり、f’(ｘ)=0 の２解は、
ｘ＝(−5±√127)/3 なので、三次方程式の真ん中の解ｃは、 -5≦c≦2
f(ｘ)＝(ｘ−ｃ){ｘ2＋(c＋5)ｘ＋(c2＋5c−34)} となり、ｘ2＋(c＋5)ｘ＋(c2＋5c−34)ｂ を解くと、
ｘ＝(−c−5±√(−3ｃ2−10ｃ＋161))/2 なので、−3ｃ2−10ｃ＋161 が平方数にならなけ
ればいけない。−3ｃ2−10ｃ＋161＝−3(ｃ＋5/3)2＋169＋1/3 となり、−5≦c≦2 の範囲
では、c＝−5/3 のとき、最大値 169+1/3 、ｃ＝2 のとき、最小値129をとるので、
−3ｃ2−10ｃ＋161 が平方数ならば、
−3ｃ2−10ｃ＋161＝144 または −3ｃ2−10ｃ＋161＝169
前者の解は、ｃ＝(−5±√76)/3、後者の解は、c＝-2、ｔ＝-4/3 なので、ｃ＝−2 と決まる。
f(ｃ)＝０ から、ｂ=−ｃ3−5ｃ2＋34ｃ＝−80 なので、三次方程式は、
ｘ3＋5ｘ2−34ｘ−80＝０ すなわち (ｘ−5)(ｘ＋2)(ｘ＋8)＝０
四次方程式は、(ｘ＋6)(ｘ−5)(ｘ＋2)(ｘ＋8)＝０ すなわち、ｘ4＋11ｘ3−4ｘ2−284ｘ−480＝０
DD++さんより補足のコメントを頂きました。（平成２６年６月１４日付け）
大元の問題の私の解法（真面目にやった方）も出しておきます。適用できる数字が限られ
る拙い解答ですが、らすかるさんのより計算量は少ないはず。
三次の解を、ａ、ｂ、ｃ とし、四次の解を、ａ、ｂ、ｃ、ｄ とすると、解と係数の関係より、
a+b+c=-5 、a+b+c+d=-11 、ab+bc+ca+d(a+b+c)=-4
上の2つから、d=-6 で、これと1番目を3番目に代入して、ab+bc+ca=-34
このとき、 a2+b2+c2=(-5)2-2*(-34)=93
93≡5 (mod 8)より、ａ、ｂ、ｃ は奇数と単偶数と複偶数1つずつの組み合わせである。
複偶数を±8とすると、二平方和が29なので奇数は±5、単偶数は±2
複偶数を±4とすると、二平方和が77だがそんなことはありえない
複偶数を0とすると、二平方和が93だがそんなことはありえない
よって、a+b+c=-5 と ab+bc+ca=-34 も考慮して、
三次方程式の解は、-2、5、-8 で、四次方程式の解は、-2、5、-8、-6
すなわち、元の方程式は、
x3+5x2-34x-80=(x+2)(x-5)(x+8)=0 、x4+11x3-4x2-284 x-480=(x+2)(x-5)(x+8)(x+6)=0
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２６年６月１４日付け）
a+b+c+d=-11 、a+b+c=-5 から、 d=-6 なので、 ab+bc+ca-6(a+b+c)=-4
また、 a+b+c-6=-11 より、 a+b+c=-5
これらから c を消去し、楕円の方程式 -34+5a+a2+5b+ab+b2=0 を得る。この方程式を満
たす格子点は有限個で、
（-8，-2）、（-2，-8）、（-8，5）、（-2，5）、（5，-8）、（5，-2）
この各々から c が定まる。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年６月１４日付け）
なるほど、一文字消去すれば広く適用できますね。私はこういう式で対称性を放棄するの
に抵抗がある人間でして、思いついても実行には踏み切れませんでした。