当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２５年１１月３０日付け）
３つの自然数 ｘ、ｙ、ｚ は、２つの方程式 ３ｘ＋４ｙ−２ｚ＝０、７ｘ2−３ｙ2−ｚ2＝０ を満た
します。
この３数の最小公倍数が１５０のとき、 ｘ、ｙ、ｚ の値を求めなさい。
（答） 当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんが考察されました。
（平成２５年１１月３０日付け）
ｘ＝30(＝2*3*5)、ｙ＝15(＝3*5)、ｚ=75(＝3*52) が満たしました。
大体の大きさの目安を付けながら、２、３、５の組合せで２、３度実験したら偶然一致でき
ました。同じ式で、「３数の最小公倍数が１５０」を、「最小公倍数が１０００」と変更したら、
ｘ、ｙ、ｚ の値は何でしょう？
Ｓ（Ｈ）さんからの補充問題です。（平成２５年１１月３０日付け）
「最小公倍数が１９４０」とか「１９４８０」に変更したら、ｘ、ｙ、ｚ の値は何でしょう？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年１１月３０日付け）
「最小公倍数が１９４０」と変更したら、
ｘ＝388(＝22*97)、ｙ＝194(＝2*97)、ｚ＝970(＝2*5*97)
「最小公倍数が１９４８０」と変更したら、
ｘ＝3896(＝23*487)、ｙ＝1948(＝22*487)、ｚ＝9740(＝22*5*487)
で上手く一致できました。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２５年１１月３０日付け）
正解です！
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんが考察されました。
（平成２５年１１月３０日付け）
150=2*3*52 なので、ｘ、ｙ、ｚ のうち少なくとも一つは偶数で、また、3ｘ+4ｙ-2ｚ=0 から、
3ｘ=2(-2ｙ+ｚ) で、ｘ は偶数となる。かつ、最小公倍数の因数2のべきが1なので、ｘ は4で割
り切れない。
ｘ=2X (Xは奇数) とおいて代入整理すると、2ｙ=ｚ-3X で、左辺は偶数、3Xは奇数なので、
ｚ は奇数となる。
従って、ｘ は、2、6、10、30、50、150 のいずれか、ｚ は、1、3、5、15、25、75 のいずれか。
4ｙ=2ｚ-3ｘ なので、2z（=2、6、10、30、50、150）と3x（=6、18、30、90、150、450） について
ｙ＞0 より、2ｚ＞3ｘ なので、2z=10、30、50、150 及び 3x=6、18、30、90 に限定される。
もし、ｙ が、52の倍数なら、4ｙは、100の倍数にならなければいけないが、2ｚ-3ｘ は100の
倍数にならない。
よって、ｘ、ｙ は52の倍数ではないので、ｚ が52の倍数となる。
従って、2z=50、150 、3x=6、18、30、90 に絞られる。
ｙ=(50-6)/4=11、 ｙ=(50-18)/4=8、ｙ= (150-6)/4=36、ｙ= (150-18)/4=33 は、いずれも150の
約数ではなく不適なので、あり得る組合せは、2ｚ＞3ｘ に注意して、
(2ｚ，3ｘ)=(50，30)、(150，30)、(150，90)
それぞれに対して、ｘ、ｙ、ｚ を計算すると、 (ｘ，ｙ，ｚ)=(10，5，25)、(10，30，75)、(30，15，75)
このうち、(10，5，25)は素因数 3 がないので不適。従って、第１式と「最小公倍数が150」だ
けで、 (ｘ，ｙ，ｚ)=(10，30，75)、(30，15，75) の2つに絞られる。
第２式から、 7ｘ2=3ｙ2+ｚ2=3ｙ2+752=3(ｙ2+25*75) なので、ｘ は、3 の倍数。
従って、(ｘ，ｙ，ｚ)=(30，15，75) となり、これは第２式を満たす。
また、「最小公倍数が１０００」と変更した場合について、
最小公倍数が150のときの解が、(ｘ，ｙ，ｚ)=(30，15，75)だから、最小公倍数が50ならば、
解は、(ｘ，ｙ，ｚ)=(10，5，25)
よって、最小公倍数が1000ならば、解は、この20倍で、(ｘ，ｙ，ｚ)=(200，100，500) と簡単
に済みそうですが、他に解があるかも知れないで、きちんと解いてみます。
1000=23*53 で、3ｘ+4ｙ-2ｚ=0 から、ｘ、ｙ、ｚ はすべて 5 の倍数か、あるいは、ｘ、ｙ、ｚ の
うち一つだけが、53 の倍数。
もし、一つだけ 53 の倍数とすると、残りの2つは、8 以下となり、3ｘ+4ｙ-2ｚ=0 が成り立た
ないから、ｘ、ｙ、ｚ はすべて5の倍数となる。
よって、全部を5で割り、問題の最小公倍数を、200=23*52に変えて考える。
再度同様に考えると、ｘ、ｙ、ｚ はすべて 5 の倍数か、あるいは、ｘ、ｙ、ｚ のうち一つだけが、
52 の倍数。
もし、一つだけ 52 の倍数とすると、残りの2つは、8 以下となる。ｘ または ｙ が 52 の倍数
だと大小関係で成り立たないので、52 の倍数の可能性があるのは、ｚ のみ。このとき、
3ｘ+4ｙ≦3・8+4・8=56 なので、ｚ=25 に絞られるが、ｘ、ｙ=2p（p≦3）、3ｘ+4ｙ=50 となる組合せ
は存在しないので、結局「一つだけ、52 の倍数」は不適。
従って、再び、ｘ、ｙ、ｚ はすべて 5 の倍数なので、全部を5で割って、問題の最小公倍数を
40=23*5に変えて考える。
もし、全部が5の倍数ならば、再度全部を5で割れば、ｘ、ｙ、ｚ は、1、2、4、8 のうちのどれ
か（しかもうち一つは8）となり、3ｘ+4ｙ=2ｚ を満たすのは、(ｘ，ｙ，ｚ)=(4，1，8) のみとなる。し
かし、これは、7ｘ2-3ｙ2-ｚ2=0 を満たさない。
よって、5 の倍数は一つだけ。
ｘ、ｙ、ｚ のうち、5の倍数でないものは、1、2、4、8 だけなので、もし、ｘ が5の倍数とすると、
2ｚ-4ｙ が15の倍数。しかし、そのような組合せは存在しない。
もし、ｙ が5の倍数とすると、2ｚ-3ｘ が20の倍数。しかしそのような組合せは存在しない。
もし、ｚ が5の倍数とすると、3ｘ+4ｙ が10の倍数。これを満たすのは、
(3ｘ，4ｙ)=(6，4)、(12，8)、(24，16)
ｚ も計算すると、 (ｘ，ｙ，ｚ)=(2，1，5)、(4，2，10)、(8，4，20)
このうち、23 を含むのは、 (ｘ，ｙ，ｚ)=(8，4，20) のみ。
従って、元の問題の答えは、これを52倍して、 (ｘ，ｙ，ｚ)=(200，100，500)